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Grundlagen endlicher Automaten

Definition

Deterministischer endlicher Automat (DEA)

• 5-Tupel
  • A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)
    • Σ: endliches Eingabealphabet
    • Q: endliche Menge von Zuständen
    • q_s ∈ Q: Startzustand
    • Q_a ⊆ Q: akzeptierte Zustände
    • δ: Q x Σ → Q: Übergangsfunktion

Graphdarstellung G_A

• Graphknoten: Q
  • Startzustand: Knoten mit eingehender Kante ohne Quelle
  • akzeptierter Zustand: Knoten mit Doppelkreis
• gelabelte Kanten: Zustandsübergänge
  • Kante von q nach q' mit Label a ↔ δ(q,a) = q'

Beispiel einfacher endlicher Automat

• A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)
  • Σ=\{0,1\}
  • Q=\{q_1,q_2,q_3\}
  • q_s=q_1
  • Q_a=\{q_3\}
  • δ:

    • Zustand	δ(.,0)	δ(.,1)
      q_1	q_1	q_2
      q_2	q_1	q_3
      q_3	q_3	q_3

• Graphdarstellung
  • 

Sprache eines Automaten

Sei A=( Σ,Q,q_s,Q_a, δ) ein DEA. Die fortgesetzte Übergangsfunktion δ^*: Q x Σ^* →Q ist definiert durch

δ^*(q, ∈):=q und

δ^*(q,wx):= δ( δ^*(q,w),x) für w ∈ Σ^* und x ∈ Σ

↑ ~induktive Definition

Sei $A= ( Σ,Q, q_s, Q_A, δ) ein DEA.

(a) Wir sagen A akzeptiert w ∈ Σ^*, wenn δ^*(q_s,w) ∈ Q_A

(b) Die von A akzeptierte Sprache ist L(A) := \{w ∈ Σ^* \space| \space A\space akzeptiert \space w\}

Unvollständige Automaten

Ein unvollständiger deterministischer Automat A=( Σ, Q,Q_s, Q_A, δ) ist wie ein normaler DEA
mit folgenden Änderungen:

(a) Die Übergangsfunktion δ darf partiell sein

(b) Ist während einer Berechnung der nächste Zustand nicht definiert → Eingabe verwerfen

Beispiel unvollständiger Automat:

Nichtdeterministischer endlicher Automat (NEA)

Nichtdeterminismus

• Erlauben pro Zustand/Zeichen-Paar mehrere Folgezustände
  • die wiederum selbst wieder mehrere Folgezustände haben können
  • Eine Eingabe, mehrere Berechnungspfade
• Eingabe wird akzeptiert, wenn
  • Berechnungspfad existiert, der in akzeptierendem Zustand endet

Definition NEA

• 5-Tupel
  • A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)
    • Σ: endliches Eingabealphabet
    • Q: endliche Menge von Zuständen
    • q_s ∈ Q: Startzustand
    • Q_a ⊆ Q: akzeptierte Zustände
    • δ: Q x Σ → P(Q): Übergangsfunktion
• jede einzelne Berechnung wie beim DEA
  • starte in q_s
  • lies nächstes Zeichen
  • berechne Folgezustand mit δ
  • wechsle in Folgezustand
    • ist akzeptierend? → :)
    • sonst → verwerfe

Beispiel NEA