# Grundlagen endlicher Automaten
## Definition
### Deterministischer endlicher Automat (DEA)
- 5-Tupel
  - $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
    - $Σ$: endliches Eingabealphabet
    - $Q$: endliche Menge von Zuständen
    - $q_s ∈ Q$: Startzustand
    - $Q_a ⊆ Q$: akzeptierte Zustände
    - $ δ: Q x Σ → Q$: Übergangsfunktion

### Graphdarstellung $G_A$
- Graphknoten: $Q$
    - Startzustand: _Knoten mit eingehender Kante ohne Quelle_
    - akzeptierter Zustand: _Knoten mit Doppelkreis_
- gelabelte Kanten: Zustandsübergänge
    - Kante von $q$ nach $q'$ mit Label $a ↔ δ(q,a) = q'$

### Beispiel einfacher endlicher Automat
- $ A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
  - $Σ=\{0,1\}$
  - $Q=\{q_1,q_2,q_3\}$
  - $q_s=q_1$
  - $Q_a=\{q_3\}$
  - $δ:$
    - | Zustand | $ δ(.,0)$ | $ δ(.,1)$ |
      |---------|-----------|-----------|
      | $q_1$   | $q_1$     | $q_2$     |
      | $q_2$   | $q_1$     | $q_3$     |
      | $q_3$   | $q_3$     | $q_3$     |
- Graphdarstellung
  - ![image_740.png](image_740.png)

### Sprache eines Automaten
> Sei $A=( Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$ ein DEA. Die fortgesetzte Übergangsfunktion $ δ^*: Q x Σ^* →Q$ ist definiert durch
> 
> $ δ^*(q, ∈):=q$ und 
> 
> $ δ^*(q,wx):= δ( δ^*(q,w),x)$ für $w ∈ Σ^* und x ∈ Σ$

↑ ~_induktive Definition_

> Sei $A= ( Σ,Q, q_s, Q_A, δ) ein DEA.
> 
> (a) Wir sagen $A$ akzeptiert $w ∈ Σ^*$, wenn $ δ^*(q_s,w) ∈ Q_A$
> 
> (b) Die von $A$ akzeptierte Sprache ist $L(A) := \{w ∈ Σ^* \space| \space A\space akzeptiert \space w\}$

### Unvollständige Automaten
> Ein unvollständiger deterministischer Automat $A=( Σ, Q,Q_s, Q_A, δ)$ ist wie ein normaler DEA 
> mit folgenden Änderungen:
> 
> (a) Die Übergangsfunktion $ δ$ darf partiell sein 
> 
> (b) Ist während einer Berechnung der nächste Zustand nicht definiert → Eingabe verwerfen

#### Beispiel unvollständiger Automat:
![image_741.png](image_741.png)




## Nichtdeterministischer endlicher Automat (NEA)
### Nichtdeterminismus
- Erlauben pro Zustand/Zeichen-Paar mehrere Folgezustände
  - _die wiederum selbst wieder mehrere Folgezustände haben können_
  - **Eine Eingabe, mehrere Berechnungspfade**
- Eingabe wird akzeptiert, wenn
  - Berechnungspfad existiert, der in akzeptierendem Zustand endet

### Definition NEA
- 5-Tupel
  - $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
    - $Σ$: endliches Eingabealphabet
    - $Q$: endliche Menge von Zuständen
    - $q_s ∈ Q$: Startzustand
    - $Q_a ⊆ Q$: akzeptierte Zustände
    - $ δ: Q x Σ → P(Q)$: Übergangsfunktion
- jede einzelne Berechnung wie beim DEA
  - starte in $q_s$
  - lies nächstes Zeichen
  - berechne Folgezustand mit $ δ$
  - wechsle in Folgezustand
    - ist akzeptierend? → `:)`
    - sonst → verwerfe 
-
#### Beispiel NEA
![image_742.png](image_742.png)