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Übungsblatt 2

Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)

Übung 1

Betrachten Sie den Automaten A aus Abbildung 1:

(a) Wie lautet die formale Tupeldarstellung des Automaten?

• A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)
  • Σ = \{x,y\}
  • Q = \{a,b,c,d\}
  • q_s = \{a\}
  • Q_a = \{d\}
  • δ:

    • Zustand	δ(.,x)	δ(.,y)
      a	b
      b	c	b
      c	d	b
      d		b

(b) Beschreiben Sie wie der Automat die Eingabe xyyxyx verarbeitet.

1. Start in Zustand a
   • x → δ(a,x)=b
2. Zustand b
   • y → δ(b,y)=b
3. Zustand b
   • y → δ(b,y)=b
4. Zustand b
   • x → δ(b,x)=c
5. Zustand c
   • y → δ(c,y)=b
6. Zustand b
   • x → δ(b,x)=c

→ Endzustand: c, da der akzeptierende Zustand d ist, wird die Eingabe nicht akzeptiert.

(c) Nennen Sie zwei verschiedene kürzeste Wörter, die von A akzeptiert werden und die jeweils jeden Übergang (Kante) aus Abbildung 1 mindestens einmal benutzen.

w_1 ∈ Σ^* := xyxxyxyxx

w_2 ∈ Σ^* := xxyxxyyxx

(d) Beschreiben Sie die von A akzeptierte Sprache sowohl informal (in Worten) als auch formal (als Teilmenge von \{x,y\}^*).

Informal:

Die von A akzeptierte Sprache muss mit x beginnen und mit xx aufhören. Dazwischen dürfen beliebig viele x und y in beliebiger Reihenfolge sein.

Formal:

L_A:= \{w \space | \space w = x*a*xx, a ∈ \{x,y\}^*\}

(e) Automat A ist unvollständig (die Übergangsfunktion ist partiell). Geben Sie einen vollständigen Automaten A′ mit L(A′) = L(A) in Graphdarstellung an.

@startuml
scale 0.5

left to right direction
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skinparam state {
    BackgroundColor #96cf95
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}
state a 
state d##[bold]

[*] --> a
a --> b : x
a --> e : y
b --> b : y
b --> c : x
c --> b : y
c --> d : x
d --> d : x
d --> b : y
e --> e : x,y
@enduml

Übung 2

Betrachten Sie die Sprache L = \{s ∈ Σ^* \space | \space s \space hat \space das\space Präfix\space 42\space und \space endet \space nicht \space auf \space 23 \}
über dem Alphabet Σ=\{0,1,...,9\}.

(a) Beschreiben Sie einen vollständigen endlichen Automaten in Graphdarstellung der die Sprache L akzeptiert.

Annahme, dass das Wort 423 von L nicht akzeptiert wird, da 42 der Präfix ist und das Wort gleichzeitig auf 23 endet.

@startuml
scale 0.5

left to right direction
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    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}

state c##[bold]
state d##[bold]

[*] --> a
a -up-> f : {0,...,9}\{4}
a --> b : {4}
b -up-> f : {0,...,9}\{2}
f --> f : {0,...,9}
b --> d: {2}
c --> c : {0,...,9}\{2}
c --> d : {2}
d --> c : {0,...,9}\{2,3}
d --> d : {2}
d --> e : {3}
e --> c : {0,...,9}\{2}
e --> d : {2}
@enduml

(b) Beschreiben Sie einen vollständigen endlichen Automaten in Graphdarstellung der genau die nicht-leeren Zeichenketten über dem Alphabet Σ akzeptiert, die keine Wörter der Sprache L sind.

@startuml
scale 0.5
left to right direction
skinparam dpi 150

skinparam state {
    BackgroundColor #96cf95
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}

state f##[bold]
state b##[bold]
state e##[bold]

[*] --> a
a -up-> f : {0,...,9}\{4}
a --> b : {4}
b -up-> f : {0,...,9}\{2}
f --> f : {0,...,9}
b --> d: {2}
c --> c : {0,...,9}\{2}
c --> d : {2}
d --> c : {0,...,9}\{2,3}
d --> d : {2}
d --> e : {3}
e --> c : {0,...,9}\{2}
e --> d : {2}
@enduml

Übung 3

Beschreiben Sie für jede der nachfolgend definierten Sprachen jeweils einen endlichen
deterministischen Automaten, der die Sprache akzeptiert. Geben Sie die Automaten
dabei sowohl in der formalen Tupel- als auch in der Graphdarstellung an. Begründen1
Sie jeweils die Korrektheit Ihrer Konstruktion.

(a) Die Sprache L1 aller geraden natürlichen Zahlen in Dezimaldarstellung ohne führende Null (d.h. \{0, 2, 8, 42 \} ⊆ L1, aber \{02, 23 \} ∩ L1 = ∅).

Tupeldarstellung (a)

• A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)
  • Σ = \{0,...,9\}
  • Q = \{a,b,c,d,e\}
  • q_s = \{a\}
  • Q_a = \{b,d\}
  • δ:

Zustand	δ(.,0)	δ(.,1)	δ(.,2)	δ(.,3)	δ(.,4)	δ(.,5)	δ(.,6)	δ(.,7)	δ(.,8)	δ(.,9)
a	b	e	d	e	d	e	d	e	d	e
b	c	c	c	c	c	c	c	c	c	c
c	c	c	c	c	c	c	c	c	c	c
d	d	e	d	e	d	e	d	e	d	e
e	d	e	d	e	d	e	d	e	d	e

Graphdarstellung (a)

@startuml
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left to right direction
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    BackgroundColor #96cf95
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}

state b##[bold]
state d##[bold]

[*] --> a
a --> b : {0}
b -up-> c : {0,...,9}
b --> c : {0,...,9}
a --> d : {2,4,6,8}
a --> e : {1,3,5,7,9}
d --> e : {1,3,5,7,9}
d --> d : {0,2,4,6,8}
e --> d : {0,2,4,6,8}
e --> e : {1,3,5,7,9}
@enduml

Begründung (a)

• Startzustand a: nur 0 wird in b geschickt (direkt akzeptierend)
• Andere Ziffern (2, 4, 6, 8) leiten in d, auch akzeptierend, aber nur wenn keine führenden Nullen davor kamen
• Zustand e „hält“ ungerade Endziffern (nicht akzeptierend)
• Folgeziffern verhalten sich konsistent

(b) Die Sprache L2 = \{ w ∈ \{ 0, 7 \}^* \space|\space w\space enthält\space 007\space genau\space einmal\space als\space Teilwort \}.

Tupeldarstellung (b)

• A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)
  • Σ = \{0,7\}
  • Q = \{a,b,c,d,e,f,g\}
  • q_s = \{a\}
  • Q_a = \{d,e,f\}
  • δ:

    • Zustand	δ(.,0)	δ(.,7)
      a	b	a
      b	c	a
      c	d	c
      d	e	d
      e	f	d
      f	g	f
      g	g	g

Graphdarstellung (b)

@startuml
scale 0.5
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skinparam state {
    BackgroundColor #96cf95
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}

state d##[bold]
state e##[bold]
state f##[bold]


[*] -right-> a
a -right-> b : {0}
b -right-> c : {0}
c --> d : {7}
d -right-> e : {0}
e -right-> f : {0}
f --> g : {7}

b --> a : {7}
a --> a : {7}
c --> c : {0}
d --> d : {7}
e --> d : {7}
f --> f : {0}
g --> g : {0,7}
@enduml

Begründung (b)

• Einmaliges Vorkommen von 007 wird erkannt und in d akzeptiert
• Zweites Vorkommen leitet in g, das nicht akzeptierend ist
• Rücksprünge für unpassende Sequenzen sind korrekt konstruiert

(c) Die Sprache L3 = \{ w ∈ \{ a, b \}^* \space| \space \#_a(w) ≡ \#_b(w) mod 3 \}.

Tupeldarstellung (c)

• A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)
  • Σ=\{a,b\}
  • Q=\{q0,q1,q2\}
  • q_s=\{q0\}
  • Q_a=\{q0\}
  • δ:
    • δ(q,a)=(q+1) \space mod \space 3,δ(q,b)=(q−1) \space mod \space 3

    • Zustand	δ(.,a)	δ(.,b)
      q0	q1	q2
      q1	q2	q0
      q2	q0	q1

Graphdarstellung (c)

@startuml
scale 0.5
left to right direction
skinparam dpi 150

skinparam state {
    BackgroundColor #96cf95
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}

state q0##[bold]


[*] -right-> q0
q0 -right-> q1 : a
q0 --> q2 : b
q1 -right-> q2: a
q1 --> q0 : b
q2 --> q0 : a
q2 --> q1 : b
@enduml

Begründung (c)

• q0 wird genau dann erreicht, wenn \#_a ≡ \#_b mod 3
• Übergänge sind konsistent

Übung 4

Betrachten Sie die Sprache L = \{ w ∈ \{ 0, 1 \}^* \space|\space \#_1(w) = 3 \}. Beschreiben Sie einen
Automaten in der Graphdarstellung, der die Sprache L akzeptiert, und beweisen Sie die
Korrektheit Ihrer Konstruktion.

@startuml
scale 0.5
left to right direction
skinparam dpi 150

skinparam state {
    BackgroundColor #96cf95
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
} 

state q3##[bold]


[*] --> q0
q0 --> q1 : 1
q0 --> q0 : 0
q1 --> q2 : 1
q1 --> q1 : 0
q2 --> q3 : 1
q2 --> q2 : 0
q3 --> q3 : 0
q3 --> q4 : 1
q4 --> q4 : 0,1
@enduml