# Übungsblatt 2
> Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)

## Übung 1
Betrachten Sie den Automaten A aus Abbildung 1:
![image_766.png](image_766.png)

### (a) Wie lautet die formale Tupeldarstellung des Automaten?

- $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
  - $Σ = \{x,y\}$
  - $Q = \{a,b,c,d\}$
  - $q_s = \{a\}$
  - $Q_a = \{d\}$
  - $δ:$
    - | Zustand | δ(.,x) | δ(.,y) |
      |---------|--------|--------|
      | a       | b      |        |
      | b       | c      | b      |
      | c       | d      | b      |
      | d       |        | b      |

### (b) Beschreiben Sie wie der Automat die Eingabe $xyyxyx$ verarbeitet.
1. Start in Zustand $a$
   - x → $δ(a,x)=b$
2. Zustand $b$
   - y → $ δ(b,y)=b$
3. Zustand $b$
   - y → $ δ(b,y)=b$
4. Zustand $b$
   - x → $ δ(b,x)=c$
5. Zustand $c$
   - y → $ δ(c,y)=b$
6. Zustand $b$
   - x → $ δ(b,x)=c$

→ Endzustand: $c$, da der akzeptierende Zustand $d$ ist, wird die Eingabe nicht akzeptiert.

### (c) Nennen Sie zwei verschiedene kürzeste Wörter, die von A akzeptiert werden und die jeweils jeden Übergang (Kante) aus Abbildung 1 mindestens einmal benutzen.

$w_1 ∈ Σ^* := xyxxyxyxx$

$w_2 ∈ Σ^* := xxyxxyyxx$

### (d) Beschreiben Sie die von A akzeptierte Sprache sowohl informal (in Worten) als auch formal (als Teilmenge von $\{x,y\}^*$). 
#### Informal:
Die von A akzeptierte Sprache muss mit x beginnen und mit xx aufhören. Dazwischen dürfen beliebig viele x und y in beliebiger Reihenfolge sein.

#### Formal:
$L_A:= \{w \space | \space w = x*a*xx, a ∈ \{x,y\}^*\}$

### (e) Automat $A$ ist unvollständig (die Übergangsfunktion ist partiell). Geben Sie einen vollständigen Automaten $A′$ mit $L(A′) = L(A)$ in Graphdarstellung an. 

```plantuml
@startuml
scale 0.5

left to right direction
skinparam dpi 150

skinparam state {
    BackgroundColor #96cf95
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}
state a 
state d##[bold]

[*] --> a
a --> b : x
a --> e : y
b --> b : y
b --> c : x
c --> b : y
c --> d : x
d --> d : x
d --> b : y
e --> e : x,y
@enduml
```

## Übung 2
Betrachten Sie die Sprache $ L = \{s ∈ Σ^* \space | \space s \space hat \space das\space Präfix\space 42\space und \space endet \space nicht \space auf \space 23 \}$ 
über dem Alphabet $ Σ=\{0,1,...,9\}$.

### (a) Beschreiben Sie einen vollständigen endlichen Automaten in Graphdarstellung der die Sprache L akzeptiert.
> Annahme, dass das Wort `423` von L nicht akzeptiert wird, da `42` der Präfix ist und das Wort gleichzeitig auf `23` endet.

```plantuml
@startuml
scale 0.5

left to right direction
skinparam dpi 150

skinparam state {
    BackgroundColor #96cf95
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}

state c##[bold]
state d##[bold]

[*] --> a
a -up-> f : {0,...,9}\{4}
a --> b : {4}
b -up-> f : {0,...,9}\{2}
f --> f : {0,...,9}
b --> d: {2}
c --> c : {0,...,9}\{2}
c --> d : {2}
d --> c : {0,...,9}\{2,3}
d --> d : {2}
d --> e : {3}
e --> c : {0,...,9}\{2}
e --> d : {2}
@enduml
```

### (b) Beschreiben Sie einen vollständigen endlichen Automaten in Graphdarstellung der genau die nicht-leeren Zeichenketten über dem Alphabet $Σ$ akzeptiert, die keine Wörter der Sprache L sind.
```plantuml
@startuml
scale 0.5
left to right direction
skinparam dpi 150

skinparam state {
    BackgroundColor #96cf95
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}

state f##[bold]
state b##[bold]
state e##[bold]

[*] --> a
a -up-> f : {0,...,9}\{4}
a --> b : {4}
b -up-> f : {0,...,9}\{2}
f --> f : {0,...,9}
b --> d: {2}
c --> c : {0,...,9}\{2}
c --> d : {2}
d --> c : {0,...,9}\{2,3}
d --> d : {2}
d --> e : {3}
e --> c : {0,...,9}\{2}
e --> d : {2}
@enduml
```




## Übung 3
Beschreiben Sie für jede der nachfolgend definierten Sprachen jeweils einen endlichen
deterministischen Automaten, der die Sprache akzeptiert. Geben Sie die Automaten
dabei sowohl in der formalen Tupel- als auch in der Graphdarstellung an. Begründen1
Sie jeweils die Korrektheit Ihrer Konstruktion.

### (a) Die Sprache $L1$ aller geraden natürlichen Zahlen in Dezimaldarstellung ohne führende Null  (d.h. $\{0, 2, 8, 42 \} ⊆ L1$, aber $\{02, 23 \} ∩ L1 = ∅$). 
#### Tupeldarstellung (a)
- $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
    - $Σ = \{0,...,9\}$
    - $Q = \{a,b,c,d,e\}$
    - $q_s = \{a\}$
    - $Q_a = \{b,d\}$
    - $δ:$

| Zustand | δ(.,0) | δ(.,1) | δ(.,2) | δ(.,3) | δ(.,4) | δ(.,5) | δ(.,6) | δ(.,7) | δ(.,8) | δ(.,9) |
|---------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|
| a       | b      | e      | d      | e      | d      | e      | d      | e      | d      | e      |
| **b**   | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      |
| c       | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      |
| **d**   | d      | e      | d      | e      | d      | e      | d      | e      | d      | e      |
| e       | d      | e      | d      | e      | d      | e      | d      | e      | d      | e      |




#### Graphdarstellung (a)
```plantuml
@startuml
scale 0.5

left to right direction
skinparam dpi 150

skinparam state {
    BackgroundColor #96cf95
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}

state b##[bold]
state d##[bold]

[*] --> a
a --> b : {0}
b -up-> c : {0,...,9}
b --> c : {0,...,9}
a --> d : {2,4,6,8}
a --> e : {1,3,5,7,9}
d --> e : {1,3,5,7,9}
d --> d : {0,2,4,6,8}
e --> d : {0,2,4,6,8}
e --> e : {1,3,5,7,9}
@enduml
```

#### Begründung (a)
- Startzustand a: nur 0 wird in b geschickt (direkt akzeptierend)
- Andere Ziffern (2, 4, 6, 8) leiten in d, auch akzeptierend, aber nur wenn keine führenden Nullen davor kamen
- Zustand e „hält“ ungerade Endziffern (nicht akzeptierend)
- Folgeziffern verhalten sich konsistent

### (b) Die Sprache $L2 = \{ w ∈ \{ 0, 7 \}^* \space|\space w\space enthält\space 007\space genau\space einmal\space als\space Teilwort \}$.
#### Tupeldarstellung (b)
- $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
    - $Σ = \{0,7\}$
    - $Q = \{a,b,c,d,e,f,g\}$
    - $q_s = \{a\}$
    - $Q_a = \{d,e,f\}$
    - $δ:$
        - | Zustand | δ(.,0) | δ(.,7) |
          |---------|--------|--------|
          | a       | b      | a      |
          | b       | c      | a      |
          | c       | d      | c      |
          | **d**   | e      | d      |
          | **e**   | f      | d      |
          | **f**   | g      | f      |
          | g       | g      | g      |


#### Graphdarstellung (b)
```plantuml
@startuml
scale 0.5
skinparam dpi 150

skinparam state {
    BackgroundColor #96cf95
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}

state d##[bold]
state e##[bold]
state f##[bold]


[*] -right-> a
a -right-> b : {0}
b -right-> c : {0}
c --> d : {7}
d -right-> e : {0}
e -right-> f : {0}
f --> g : {7}

b --> a : {7}
a --> a : {7}
c --> c : {0}
d --> d : {7}
e --> d : {7}
f --> f : {0}
g --> g : {0,7}
@enduml
```

#### Begründung (b)
- Einmaliges Vorkommen von 007 wird erkannt und in d akzeptiert
- Zweites Vorkommen leitet in g, das nicht akzeptierend ist
- Rücksprünge für unpassende Sequenzen sind korrekt konstruiert

### (c) Die Sprache $L3 = \{ w ∈ \{ a, b \}^* \space| \space \#_a(w) ≡ \#_b(w) mod 3 \}$.
#### Tupeldarstellung (c)
- $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
  - $Σ=\{a,b\}$
  - $Q=\{q0,q1,q2\}$
  - $q_s=\{q0\}$
  - $Q_a=\{q0\}$
  - $ δ:$
    - $δ(q,a)=(q+1) \space mod \space 3,δ(q,b)=(q−1) \space mod \space 3$
    - | Zustand | δ(.,a) | δ(.,b) |
      |---------|--------|--------|
      | q0      | q1     | q2     |
      | q1      | q2     | q0     |
      | q2      | q0     | q1     |

#### Graphdarstellung (c)

```plantuml
@startuml
scale 0.5
left to right direction
skinparam dpi 150

skinparam state {
    BackgroundColor #96cf95
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}

state q0##[bold]


[*] -right-> q0
q0 -right-> q1 : a
q0 --> q2 : b
q1 -right-> q2: a
q1 --> q0 : b
q2 --> q0 : a
q2 --> q1 : b
@enduml
```

#### Begründung (c)
- q0 wird genau dann erreicht, wenn $\#_a ≡ \#_b mod 3$
- Übergänge sind konsistent

## Übung 4
Betrachten Sie die Sprache $L = \{ w ∈ \{ 0, 1 \}^* \space|\space \#_1(w) = 3 \}$. Beschreiben Sie einen
Automaten in der Graphdarstellung, der die Sprache $L$ akzeptiert, und beweisen Sie die
Korrektheit Ihrer Konstruktion.

```plantuml
@startuml
scale 0.5
left to right direction
skinparam dpi 150

skinparam state {
    BackgroundColor #96cf95
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
} 

state q3##[bold]


[*] --> q0
q0 --> q1 : 1
q0 --> q0 : 0
q1 --> q2 : 1
q1 --> q1 : 0
q2 --> q3 : 1
q2 --> q2 : 0
q3 --> q3 : 0
q3 --> q4 : 1
q4 --> q4 : 0,1
@enduml
```