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Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe5.md

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+# Übungsblatt 5
+> Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)
+
+## Übung 1
+
+Bestimmen Sie den Nerode-Index der folgenden Sprachen und begründen Sie Ihre Antwort. 
+Ist der Nerode-Index endlich, so geben Sie alle Nerode-Klassen der Sprache an. 
+Ist der Nerode-Index unendlich, so geben Sie 5 selbst gewählte Nerode-Klassen der Sprache an.
+
+- $L_2 = \{ w \in \{ a, b \}^* \mid \#a(w) \equiv \#b(w) \mod 3 \}$ über dem Alphabet $\Sigma_2 = \{ a, b \}$
+  - Nerode-Index = 3
+    - $N_0 = N(ε) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 0 = \#_a(w) = \#b(w) }$
+    - $N_1 = N(a) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 1 ≡ \#_a(w) ≡ \#b(w) \mod 3\}$
+    - $N_2 = N(aa) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 2 ≡ \#_a(w) ≡ \#b(w) \mod 3\}$
+    - $N_3 = N(aaa) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 0 ≡ \#_a(w) ≡ \#b(w) \mod 3\}$
+
+- $L_3 = \{ w \in \Sigma^* \mid w \text{ enthält eine ungerade Anzahl von Nullen} \}$ über dem Alphabet $\Sigma_3 = \{ 0, 1 \}$
+  - Nerode-Index = 2
+    - $N_1 = N(1) = \{w ∈ {0,1}^*\space|\space 0 ≡ \#_1(w) \mod 2\}$
+    - $N_2 = N(0) = \{w ∈ {0,1}^*\space|\space 1 ≡ \#_1(w) \mod 2\}$
+
+- $L_4 = \{ w \cdot w^{\text{rev}} \mid w \in \{ 0, 1 \}^* \}$ über dem Alphabet $\Sigma_3 = \{ 0, 1 \}$ Dabei ist $w^{\text{rev}}$ die Umkehrung von $w$, also: $w = w_1w_2\ldots w_n \Rightarrow w^{\text{rev}} = w_nw_{n-1}\ldots w_1$ für $n \in \mathbb{N},\ w_i \in \{ 0, 1 \}$
+  - Nerode-Index = ∞
+    - Man müsste unendlich viele Zustände speichern, um diese dann umgekehrt wieder einzufügen, daher unendlicher Nerode-Index
+    - Beispiel Nerode-Klassen:
+      - $ N_0 = N(\varepsilon) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid \exists u \in \{0,1\}^* : w = u \cdot u^{\text{rev}} \}$
+      - $ N_1 = N(0) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w \text{ beginnt mit } 0 \text{ und es existiert kein } u : w = u \cdot u^{\text{rev}} \}$
+      - $ N_2 = N(00) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w = 00 \cdot v \text{ mit } v \neq 00, \text{ sodass } w \notin L_4 \}$
+      - $ N_3 = N(1) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w \text{ beginnt mit } 1 \text{ und ist kein Palindrom der Form } u \cdot u^{\text{rev}} \}$
+      - $ N_4 = N(000) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w = 000 \cdot v, \text{ aber kein } u : w = u \cdot u^{\text{rev}} \}$
+
+
+## Übung 2
+
+Betrachten Sie die Sprache 
+$L = \{ s \in \Sigma^* \mid \#0(s) = \#1(s) \}$ 
+über dem Alphabet $\Sigma = \{ 0, 1 \}$.
+
+Welche der folgenden Mengen kann genutzt werden, um zu zeigen, dass $L$ einen unendlichen Nerode-Index hat? Begründen Sie Ihre Antwort. 
+
+- (a) $X_1 = \{ 0^{2i}1^i \mid i \in \mathbb{N} \}$
+
+- (b) $X_2 = \{ 0 1^i 0^i 0 \mid i \in \mathbb{N} \}$
+
+**Antwort:**
+- (a)
+  - besteht aus mehr Nullen als Einsen
+  - Für zwei verschiedene Worte $w_i und w_j$
+    - durch Anhängen eines Suffixes $z$, der gleichviele Nullen und Einsen hat
+      - weiterhin nicht $∈ L$
+    - → Wörter lassen sich unterscheiden → nicht Nerode-Äquivalent
+- darum nicht (b):
+  - Unterschied immer genau zwei Nullen mehr als Einsen
+    - Nicht sicher, dass sie alle Nerode-ungleich sind
+
+## Übung 3
+
+Betrachten Sie den Automaten $A$ aus Abbildung 1 über dem Alphabet $\Sigma = \{ 0, 1 \}$. 
+Lesen Sie sich nochmals Definition 4.8 aus den Vorlesungsfolien sowie die Definition der $k$-Äquivalenz ($\equiv_k^A$) durch.
+
+![image_842.png](image_842.png)
+
+
+### 3(a)
+Beantworten Sie die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe der Definition von $k$-Äquivalenz. 
+
+- (i) Sind $a$ und $g$ 1-äquivalent?
+- (ii) Sind $a$ und $g$ 2-äquivalent?
+- (iii) Sind $d$ und $e$ 2-äquivalent?
+- (iv) Sind $d$ und $f$ 1-äquivalent?
+- (v) Sind $d$ und $f$ 2-äquivalent?
+
+### 3(b)
+Beschreiben Sie, was Sie tun müssen, um über die Definition von 6-Äquivalenz zu überprüfen, ob $d$ und $f$ 6-äquivalent sind. Wie aufwendig wäre dieses Vorgehen? 
+
+### 3(c)
+Die Zustände $d$ und $f$ sind 5-äquivalent (dies müssen Sie nicht selbst begründen). 
+Nutzen Sie dies aus, um mit möglichst wenig Aufwand zu überprüfen, ob $d$ und $f$ 6-äquivalent sind. Begründen Sie Ihre Antwort. 
+
+### 3(d)
+Bestimmen Sie für $i \in \{0, 1, 2\}$ nachvollziehbar die $i$-äquivalenten Zustände von $A$. 
+
+
+---
+
+## Übung 4
+
+### 4(a)
+Gegeben sei eine Sprache $L$ über dem Alphabet $\Sigma$. Sei $i$ der Nerode-Index von $L$. 
+Was ist der Nerode-Index der Sprache $\Sigma^* \setminus L$? Begründen Sie Ihre Antwort. 
+
+### 4(b)
+Gegeben seien die Sprachen
+- $L_1 = \{ a^n \mid n \in \mathbb{N} \}$
+- $L_2 = \{ b^n \mid n \in \mathbb{N} \}$ 
+
+über dem Alphabet $\Sigma = \{ a, b \}$.
+
+Bestimmen Sie die Nerode-Indizes der Sprachen $L_1$, $L_2$ und $L_1 \cup L_2$ und begründen Sie jeweils Ihre Antwort. 
+
+### 4(c)
+Gegeben seien die Sprachen
+- $L_1 = \{ a^n \mid n \in \mathbb{N}_0 \}$
+- $L_2 = \{ b^n \mid n \in \mathbb{N}_0 \}$ 
+ über dem Alphabet $\Sigma = \{ a, b \}$.
+
+Bestimmen Sie die Nerode-Indizes der Sprachen $L_1$, $L_2$ und $L_1 \cup L_2$ und begründen Sie jeweils Ihre Antwort. 
+
+### 4(d)
+Gegeben sei eine Sprache $L_1$ über einem Alphabet $\Sigma$. 
+Wählen Sie eine Sprache $L_2$ über demselben Alphabet $\Sigma$, so dass der Nerode-Index der Sprache $L_1 \cup L_2$ möglichst klein wird. Begründen Sie Ihre Wahl.