From bcba649c7ce7f944450771005074087704e20551 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: David Schirrmeister Date: Sat, 17 May 2025 15:29:09 +0200 Subject: [PATCH] update --- Writerside/images/image_842.png | Bin 0 -> 23569 bytes Writerside/in.tree | 1 + .../Hausaufgaben/ti_hausaufgabe5.md | 111 ++++++++++++++++++ 3 files changed, 112 insertions(+) create mode 100644 Writerside/images/image_842.png create mode 100644 Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe5.md diff --git a/Writerside/images/image_842.png b/Writerside/images/image_842.png new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..72cc041f07bfe1fef049907e66dfe79e240b4937 GIT binary patch literal 23569 zcmdSB^;4YP(ghkMxVyVML4&)y1$TD|ZovlE;O_1kJh&6wgS)$v+=utP=c{w8?muvU zn4)TG*wat%-o3lmT0P-P3X+I$cyJ#+d_a_z5>xr`0c;C+A;CZa?{sO_Xnpvgvm`Ah ztmdJAmgT9bwue1bHzzDEEDrq<4D+Knq5GP$vJ<_o%G}x~Rd)2X6gm1PX&uYD(#q0G 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zpZEN}1Su?w!9RvsYC6xYn+i~zA34&UAUGmh-b~HU@1TB0zN3Z`vt0M<8P6Tg;a;&CS!RDEh zA^X9AK)f9=GiV9uyRye|hkwk9Ff2fp-6_~@BE4DjS-*Ly650cdX97JC`o6ls^5}|y zGLtoI3gO)-i3?n*Yoo3c>KZB4(|9zNdEfnKbU!A zrjng-2{)=97zwr+jY<{=b1hXFIs}Plc6XY^%0du`6aOA90n{Gtnk3rgkq9o77I|o` zU~$r?ijB$+`@epk a%K4WFp1mls_6Jel*ECdglq(f&L;nMb{-4kQ literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Writerside/in.tree b/Writerside/in.tree index cf246d3..3a3a34f 100644 --- a/Writerside/in.tree +++ b/Writerside/in.tree @@ -120,6 +120,7 @@ + diff --git a/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe5.md b/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe5.md new file mode 100644 index 0000000..5e9567e --- /dev/null +++ b/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe5.md @@ -0,0 +1,111 @@ +# Übungsblatt 5 +> Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422) + +## Übung 1 + +Bestimmen Sie den Nerode-Index der folgenden Sprachen und begründen Sie Ihre Antwort. +Ist der Nerode-Index endlich, so geben Sie alle Nerode-Klassen der Sprache an. +Ist der Nerode-Index unendlich, so geben Sie 5 selbst gewählte Nerode-Klassen der Sprache an. + +- $L_2 = \{ w \in \{ a, b \}^* \mid \#a(w) \equiv \#b(w) \mod 3 \}$ über dem Alphabet $\Sigma_2 = \{ a, b \}$ + - Nerode-Index = 3 + - $N_0 = N(ε) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 0 = \#_a(w) = \#b(w) }$ + - $N_1 = N(a) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 1 ≡ \#_a(w) ≡ \#b(w) \mod 3\}$ + - $N_2 = N(aa) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 2 ≡ \#_a(w) ≡ \#b(w) \mod 3\}$ + - $N_3 = N(aaa) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 0 ≡ \#_a(w) ≡ \#b(w) \mod 3\}$ + +- $L_3 = \{ w \in \Sigma^* \mid w \text{ enthält eine ungerade Anzahl von Nullen} \}$ über dem Alphabet $\Sigma_3 = \{ 0, 1 \}$ + - Nerode-Index = 2 + - $N_1 = N(1) = \{w ∈ {0,1}^*\space|\space 0 ≡ \#_1(w) \mod 2\}$ + - $N_2 = N(0) = \{w ∈ {0,1}^*\space|\space 1 ≡ \#_1(w) \mod 2\}$ + +- $L_4 = \{ w \cdot w^{\text{rev}} \mid w \in \{ 0, 1 \}^* \}$ über dem Alphabet $\Sigma_3 = \{ 0, 1 \}$ Dabei ist $w^{\text{rev}}$ die Umkehrung von $w$, also: $w = w_1w_2\ldots w_n \Rightarrow w^{\text{rev}} = w_nw_{n-1}\ldots w_1$ für $n \in \mathbb{N},\ w_i \in \{ 0, 1 \}$ + - Nerode-Index = ∞ + - Man müsste unendlich viele Zustände speichern, um diese dann umgekehrt wieder einzufügen, daher unendlicher Nerode-Index + - Beispiel Nerode-Klassen: + - $ N_0 = N(\varepsilon) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid \exists u \in \{0,1\}^* : w = u \cdot u^{\text{rev}} \}$ + - $ N_1 = N(0) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w \text{ beginnt mit } 0 \text{ und es existiert kein } u : w = u \cdot u^{\text{rev}} \}$ + - $ N_2 = N(00) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w = 00 \cdot v \text{ mit } v \neq 00, \text{ sodass } w \notin L_4 \}$ + - $ N_3 = N(1) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w \text{ beginnt mit } 1 \text{ und ist kein Palindrom der Form } u \cdot u^{\text{rev}} \}$ + - $ N_4 = N(000) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w = 000 \cdot v, \text{ aber kein } u : w = u \cdot u^{\text{rev}} \}$ + + +## Übung 2 + +Betrachten Sie die Sprache +$L = \{ s \in \Sigma^* \mid \#0(s) = \#1(s) \}$ +über dem Alphabet $\Sigma = \{ 0, 1 \}$. + +Welche der folgenden Mengen kann genutzt werden, um zu zeigen, dass $L$ einen unendlichen Nerode-Index hat? Begründen Sie Ihre Antwort. + +- (a) $X_1 = \{ 0^{2i}1^i \mid i \in \mathbb{N} \}$ + +- (b) $X_2 = \{ 0 1^i 0^i 0 \mid i \in \mathbb{N} \}$ + +**Antwort:** +- (a) + - besteht aus mehr Nullen als Einsen + - Für zwei verschiedene Worte $w_i und w_j$ + - durch Anhängen eines Suffixes $z$, der gleichviele Nullen und Einsen hat + - weiterhin nicht $∈ L$ + - → Wörter lassen sich unterscheiden → nicht Nerode-Äquivalent +- darum nicht (b): + - Unterschied immer genau zwei Nullen mehr als Einsen + - Nicht sicher, dass sie alle Nerode-ungleich sind + +## Übung 3 + +Betrachten Sie den Automaten $A$ aus Abbildung 1 über dem Alphabet $\Sigma = \{ 0, 1 \}$. +Lesen Sie sich nochmals Definition 4.8 aus den Vorlesungsfolien sowie die Definition der $k$-Äquivalenz ($\equiv_k^A$) durch. + +![image_842.png](image_842.png) + + +### 3(a) +Beantworten Sie die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe der Definition von $k$-Äquivalenz. + +- (i) Sind $a$ und $g$ 1-äquivalent? +- (ii) Sind $a$ und $g$ 2-äquivalent? +- (iii) Sind $d$ und $e$ 2-äquivalent? +- (iv) Sind $d$ und $f$ 1-äquivalent? +- (v) Sind $d$ und $f$ 2-äquivalent? + +### 3(b) +Beschreiben Sie, was Sie tun müssen, um über die Definition von 6-Äquivalenz zu überprüfen, ob $d$ und $f$ 6-äquivalent sind. Wie aufwendig wäre dieses Vorgehen? + +### 3(c) +Die Zustände $d$ und $f$ sind 5-äquivalent (dies müssen Sie nicht selbst begründen). +Nutzen Sie dies aus, um mit möglichst wenig Aufwand zu überprüfen, ob $d$ und $f$ 6-äquivalent sind. Begründen Sie Ihre Antwort. + +### 3(d) +Bestimmen Sie für $i \in \{0, 1, 2\}$ nachvollziehbar die $i$-äquivalenten Zustände von $A$. + + +--- + +## Übung 4 + +### 4(a) +Gegeben sei eine Sprache $L$ über dem Alphabet $\Sigma$. Sei $i$ der Nerode-Index von $L$. +Was ist der Nerode-Index der Sprache $\Sigma^* \setminus L$? Begründen Sie Ihre Antwort. + +### 4(b) +Gegeben seien die Sprachen +- $L_1 = \{ a^n \mid n \in \mathbb{N} \}$ +- $L_2 = \{ b^n \mid n \in \mathbb{N} \}$ + +über dem Alphabet $\Sigma = \{ a, b \}$. + +Bestimmen Sie die Nerode-Indizes der Sprachen $L_1$, $L_2$ und $L_1 \cup L_2$ und begründen Sie jeweils Ihre Antwort. + +### 4(c) +Gegeben seien die Sprachen +- $L_1 = \{ a^n \mid n \in \mathbb{N}_0 \}$ +- $L_2 = \{ b^n \mid n \in \mathbb{N}_0 \}$ + über dem Alphabet $\Sigma = \{ a, b \}$. + +Bestimmen Sie die Nerode-Indizes der Sprachen $L_1$, $L_2$ und $L_1 \cup L_2$ und begründen Sie jeweils Ihre Antwort. + +### 4(d) +Gegeben sei eine Sprache $L_1$ über einem Alphabet $\Sigma$. +Wählen Sie eine Sprache $L_2$ über demselben Alphabet $\Sigma$, so dass der Nerode-Index der Sprache $L_1 \cup L_2$ möglichst klein wird. Begründen Sie Ihre Wahl.