Übungsblatt 5

Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)

Übung 1

Bestimmen Sie den Nerode-Index der folgenden Sprachen und begründen Sie Ihre Antwort.
Ist der Nerode-Index endlich, so geben Sie alle Nerode-Klassen der Sprache an.
Ist der Nerode-Index unendlich, so geben Sie 5 selbst gewählte Nerode-Klassen der Sprache an.

L_2 = \{ w \in \{ a, b \}^* \mid \#a(w) \equiv \#b(w) \mod 3 \} über dem Alphabet \Sigma_2 = \{ a, b \}
- Nerode-Index = 3
  - $N_0 = N(ε) = {w ∈ {a,b}^*\space|\space 0 = #_a(w) = #b(w) }$
  - N_1 = N(a) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 1 ≡ \#_a(w) ≡ \#b(w) \mod 3\}
  - N_2 = N(aa) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 2 ≡ \#_a(w) ≡ \#b(w) \mod 3\}
  - N_3 = N(aaa) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 0 ≡ \#_a(w) ≡ \#b(w) \mod 3\}
L_3 = \{ w \in \Sigma^* \mid w \text{ enthält eine ungerade Anzahl von Nullen} \} über dem Alphabet \Sigma_3 = \{ 0, 1 \}
- Nerode-Index = 2
  - N_1 = N(1) = \{w ∈ {0,1}^*\space|\space 0 ≡ \#_1(w) \mod 2\}
  - N_2 = N(0) = \{w ∈ {0,1}^*\space|\space 1 ≡ \#_1(w) \mod 2\}
L_4 = \{ w \cdot w^{\text{rev}} \mid w \in \{ 0, 1 \}^* \} über dem Alphabet \Sigma_3 = \{ 0, 1 \} Dabei ist w^{\text{rev}} die Umkehrung von w, also: w = w_1w_2\ldots w_n \Rightarrow w^{\text{rev}} = w_nw_{n-1}\ldots w_1 für n \in \mathbb{N},\ w_i \in \{ 0, 1 \}
- Nerode-Index = ∞
  - Man müsste unendlich viele Zustände speichern, um diese dann umgekehrt wieder einzufügen, daher unendlicher Nerode-Index
  - Beispiel Nerode-Klassen:
    - N_0 = N(\varepsilon) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid \exists u \in \{0,1\}^* : w = u \cdot u^{\text{rev}} \}
    - N_1 = N(0) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w \text{ beginnt mit } 0 \text{ und es existiert kein } u : w = u \cdot u^{\text{rev}} \}
    - N_2 = N(00) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w = 00 \cdot v \text{ mit } v \neq 00, \text{ sodass } w \notin L_4 \}
    - N_3 = N(1) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w \text{ beginnt mit } 1 \text{ und ist kein Palindrom der Form } u \cdot u^{\text{rev}} \}
    - N_4 = N(000) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w = 000 \cdot v, \text{ aber kein } u : w = u \cdot u^{\text{rev}} \}

Übung 2

Betrachten Sie die Sprache
L = \{ s \in \Sigma^* \mid \#0(s) = \#1(s) \}
über dem Alphabet \Sigma = \{ 0, 1 \}.

Welche der folgenden Mengen kann genutzt werden, um zu zeigen, dass L einen unendlichen Nerode-Index hat? Begründen Sie Ihre Antwort.

(a) X_1 = \{ 0^{2i}1^i \mid i \in \mathbb{N} \}
(b) X_2 = \{ 0 1^i 0^i 0 \mid i \in \mathbb{N} \}

Antwort:

(a)
- besteht aus mehr Nullen als Einsen
- Für zwei verschiedene Worte w_i und w_j
  - durch Anhängen eines Suffixes z, der gleichviele Nullen und Einsen hat
    - weiterhin nicht ∈ L
  - → Wörter lassen sich unterscheiden → nicht Nerode-Äquivalent
darum nicht (b):
- Unterschied immer genau zwei Nullen mehr als Einsen
  - Nicht sicher, dass sie alle Nerode-ungleich sind

Übung 3

Betrachten Sie den Automaten A aus Abbildung 1 über dem Alphabet \Sigma = \{ 0, 1 \}.
Lesen Sie sich nochmals Definition 4.8 aus den Vorlesungsfolien sowie die Definition der $k$-Äquivalenz (\equiv_k^A) durch.

3(a)

Beantworten Sie die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe der Definition von $k$-Äquivalenz.

(i) Sind a und g 1-äquivalent?
(ii) Sind a und g 2-äquivalent?
(iii) Sind d und e 2-äquivalent?
(iv) Sind d und f 1-äquivalent?
(v) Sind d und f 2-äquivalent?

3(b)

Beschreiben Sie, was Sie tun müssen, um über die Definition von 6-Äquivalenz zu überprüfen, ob d und f 6-äquivalent sind. Wie aufwendig wäre dieses Vorgehen?

3(c)

Die Zustände d und f sind 5-äquivalent (dies müssen Sie nicht selbst begründen).
Nutzen Sie dies aus, um mit möglichst wenig Aufwand zu überprüfen, ob d und f 6-äquivalent sind. Begründen Sie Ihre Antwort.

3(d)

Bestimmen Sie für i \in \{0, 1, 2\} nachvollziehbar die $i$-äquivalenten Zustände von A.

Übung 4

4(a)

Gegeben sei eine Sprache L über dem Alphabet \Sigma. Sei i der Nerode-Index von L.
Was ist der Nerode-Index der Sprache \Sigma^* \setminus L? Begründen Sie Ihre Antwort.

4(b)

Gegeben seien die Sprachen

L_1 = \{ a^n \mid n \in \mathbb{N} \}
L_2 = \{ b^n \mid n \in \mathbb{N} \}

über dem Alphabet \Sigma = \{ a, b \}.

Bestimmen Sie die Nerode-Indizes der Sprachen L_1, L_2 und L_1 \cup L_2 und begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

4(c)