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             <toc-element topic="01Einleitung.md"/>
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Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/03_GrundlagenEndlicherAutomaten.md

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+# Grundlagen endlicher Automaten
+## Definition
+### Deterministischer endlicher Automat (DEA)
+- 5-Tupel
+  - $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
+    - $Σ$: endliches Eingabealphabet
+    - $Q$: endliche Menge von Zuständen
+    - $q_s ∈ Q$: Startzustand
+    - $Q_a ⊆ Q$: akzeptierte Zustände
+    - $ δ: Q x Σ → Q$: Übergangsfunktion
+
+### Graphdarstellung $G_A$
+- Graphknoten: $Q$
+    - Startzustand: _Knoten mit eingehender Kante ohne Quelle_
+    - akzeptierter Zustand: _Knoten mit Doppelkreis_
+- gelabelte Kanten: Zustandsübergänge
+    - Kante von $q$ nach $q'$ mit Label $a ↔ δ(q,a) = q'$
+
+### Beispiel einfacher endlicher Automat
+- $ A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
+  - $Σ=\{0,1\}$
+  - $Q=\{q_1,q_2,q_3\}$
+  - $q_s=q_1$
+  - $Q_a=\{q_3\}$
+  - $δ:$
+    - | Zustand | $ δ(.,0)$ | $ δ(.,1)$ |
+      |---------|-----------|-----------|
+      | $q_1$   | $q_1$     | $q_2$     |
+      | $q_2$   | $q_1$     | $q_3$     |
+      | $q_3$   | $q_3$     | $q_3$     |
+- Graphdarstellung
+  - ![image_740.png](image_740.png)
+
+### Sprache eines Automaten
+> Sei $A=( Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$ ein DEA. Die fortgesetzte Übergangsfunktion $ δ^*: Q x Σ^* →Q$ ist definiert durch
+> 
+> $ δ^*(q, ∈):=q$ und 
+> 
+> $ δ^*(q,wx):= δ( δ^*(q,w),x)$ für $w ∈ Σ^* und x ∈ Σ$
+
+↑ ~_induktive Definition_
+
+> Sei $A= ( Σ,Q, q_s, Q_A, δ) ein DEA.
+> 
+> (a) Wir sagen $A$ akzeptiert $w ∈ Σ^*$, wenn $ δ^*(q_s,w) ∈ Q_A$
+> 
+> (b) Die von $A$ akzeptierte Sprache ist $L(A) := \{w ∈ Σ^* \space| \space A\space akzeptiert \space w\}$
+
+### Unvollständige Automaten
+> Ein unvollständiger deterministischer Automat $A=( Σ, Q,Q_s, Q_A, δ)$ ist wie ein normaler DEA 
+> mit folgenden Änderungen:
+> 
+> (a) Die Übergangsfunktion $ δ$ darf partiell sein 
+> 
+> (b) Ist während einer Berechnung der nächste Zustand nicht definiert → Eingabe verwerfen
+
+#### Beispiel unvollständiger Automat:
+![image_741.png](image_741.png)
+
+
+
+
+## Nichtdeterministischer endlicher Automat (NEA)
+### Nichtdeterminismus
+- Erlauben pro Zustand/Zeichen-Paar mehrere Folgezustände
+  - _die wiederum selbst wieder mehrere Folgezustände haben können_
+  - **Eine Eingabe, mehrere Berechnungspfade**
+- Eingabe wird akzeptiert, wenn
+  - Berechnungspfad existiert, der in akzeptierendem Zustand endet
+
+### Definition NEA
+- 5-Tupel
+  - $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
+    - $Σ$: endliches Eingabealphabet
+    - $Q$: endliche Menge von Zuständen
+    - $q_s ∈ Q$: Startzustand
+    - $Q_a ⊆ Q$: akzeptierte Zustände
+    - $ δ: Q x Σ → P(Q)$: Übergangsfunktion
+- jede einzelne Berechnung wie beim DEA
+  - starte in $q_s$
+  - lies nächstes Zeichen
+  - berechne Folgezustand mit $ δ$
+  - wechsle in Folgezustand
+    - ist akzeptierend? → `:)`
+    - sonst → verwerfe 
+-
+#### Beispiel NEA
+![image_742.png](image_742.png)