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2025-04-16 10:24:48 +02:00

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Arbeitsblatt 1

Übung 1

Sei A ein Lösungsalgorithmus für das Entscheidungsproblem MaximumCliqueDec (auch k-Clique genannt).

Beantworten sie die folgenden Fragen:

Welche Eingaben muss dieser Lösungsalgorithmus verarbeiten?

  • Graph G = (V, E) [Adjazenzliste]
  • Größe k ∈ \mathbb{N}

Welche Ausgaben muss dieser Lösungsalgorithmus bestimmen?

  • ja/nein [bool]

Sei G = (V, E) ein Graph mit zehn Knoten. Wie oft muss der Algorithmus A im schlimmsten Fall aufgerufen werden, um mit ihm die Frage zu beantworten, wie groß eine größte Clique im Graphen G ist? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.

Im schlimmsten Fall 9 mal, falls |C| = 1. In diesem Fall würde man alle restlichen Fälle (bis auf k = 1, da dies als gegeben betrachtet werden kann) testen bis man nach dem Überprüfen, ob eine Clique der Größe 2 existiert (Schritt 9), zu dem Schluss kommt, dass die größte Clique eine Größe von 1 hat.

Übung 2

Gegeben sei der Graph G

image_680.png

Geben Sie alle größten Cliquen im gegebenen Graphen an.

\{(v_1,v_2,v_3), (v_1,v_2,v_4), (v_3,v_2,v_6), (v_3,v_6,v_5)\}

In der Vorlesung haben Sie einen Algorithmus kennengelernt, der MaximumClique mit Hilfe eines Algorithmus für MaximumCliqueSize lösen kann. Wenden Sie den Algorithmus auf G an. Die Knoten werden in der Reihenfolge v1, v2, ... , v7 betrachtet. Beantworten Sie dabei für jeden Knoten v_i (i ∈ \{ 1, 2, ... , 7 \}) folgende Frage:

Knoten Wird für v_i überprüft, ob er in die zu bestimmende Clique C aufgenommen werden soll? Wird v_i in die zu bestimmende Clique C aufgenommen
v_1 ja nein
v_2 ja nein
v_3 ja ja
v_4 nein nein
v_5 ja ja
v_6 ja ja
v_7 nein nein

Geben Sie die vom Lösungsalgorithmus bestimmte größte Clique C an.

C = (v_3,v_6,v_5)