Einleitung

Das Ampelproblem

ungerichteter Graph G = (V, E)
- V = endliche Knotenmenge
- E = endliche Kantenmenge
  - wichtige Eigenschaft: si, sj verträglich oder nicht

Graph G=(V,E) für kommende Abbildung:

V = {s1, s2, s3, s4, s5, s6},
E = {{s1, s4}, {s1, s5}, {s2, s4}, {s2, s5}, {s3, s6}, {s4, s5}}

Verträglichkeitsgraphen erstellen (G = (V,E))
finde eine größte Clique C_1 in V
Entferne aus G alle Knoten aus C_1 und Kanten Adjazent zu C_1
- V ← V \ C_1
- E ← E \ {$e ∈ E | e ∩ C_1 \neq ∅$}
finde eine größte Clique C_2 in V
...

nicht-leere Teilmenge C \subseteq V, wenn zwei verschiedene Knoten in C paarweise durch eine Kante aus E verbunden sind

Es gilt:
{u,v} \in E für alle u,v \in C mit u \ne v

per Definition ist auch jede einelementige Teilmenge C \subseteq V eine Clique

Größe einer Clique:
|C|

Eingabe: Graph V = (V, E)

Ausgabe: Größe einer größten Clique C von G

Theorem 1.1

Algorithmus A löse MaximumClique. Dann existiert Algorithmus B mit ~ gleicher Laufzeit der MaximumCliqueSize löst.

Theorem 1.2

Algorithmus A löse MaximusCliqueSize. Dann existiert Algorithmus B mit ähnlicher Laufzeit der MaximumClique löst.

Zentrale Beobachtung:

Für G = (V, E) und v ∈ V sei G - v = (V\v,{e ∈ E | v !∈ e}).
Sei k die Größe einer Clique in G und k_{-v} die Größe einer größten Clique in G-v.
Dann gilt:
- (a) v ∈ allen größten Cliquen → k_{-v} = k - 1
- (b) v !∈ allen größten Cliquen → k_{-v} = k

Eingabe: Graph V = (V, E) und k ∈ Ν

Ausgabe: gibt es eine Clique C der Größe k in G?

Theorem 1.3

Algorithmus A löse MaximumCliqueDec. Dann existiert ähnlicher Algorithmus B mit ähnlicher Laufzeit, der MaximumCliqueSize löst.

B(G, k) für G = (V, E)