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Formale Grammatiken

Grundbegriffe

Formale Grammatik

• 4-Tupel
  • G=(Σ,V,S,R)
    • Σ: Alphabet
    • V: endliche Menge Variablen V ∩ Σ = \not O
    • S ∈ V: Startvariablen
    • R: endliche Menge Regeln
      • Form: α → β, α, β ∈ (Σ ∪ V)^* mit α \not= ε

Beispielgrammatik

• G = (\{a,b\},\{S\},S,\{S→aSb, S→ε\})
  • Alphabet a,b
  • Variable S
  • Startvariable S
  • zwei (Ersetzungs-) Regeln:
    • rekursiv
    • leeres Wort

Funktion einer formalen Grammatik

• Bilden von Wörtern durch Ableitungen
• starte mit dem Startsymbol S
• solange noch Variablen vorkommen oder man Lust hat:
  • wende eine Regel α → β an, um α durch β zu ersetzen
• das Ergebnis ist eine Zeichenkette w ∈ Σ^*
  • ein aus G abgeleitetes Wort

Komplexität von Grammatiken

• Je mehr Variablen links UND rechts stehen, desto schwerer wird es sie zu verstehen
  • Dadurch wird auch das Wortproblem schwerer

Übersicht Grammatiken

Typ	Erlaubte Regeln	Was kann man damit beschreiben?	Beispielregel	Beispielsprache
Regulär (RG)	A → aB A → a	Nur ganz einfache Muster, kein Zählen	A → aB B → b	aⁿb (z.B. ab, aab, aaab)
Kontextfrei (CFG)	A → γ (γ ist beliebige Folge aus Terminals und Nichtterminals)	Einfache Klammerungen und Zählen	S → aSb S → ε	aⁿbⁿ (z.B. ab, aabb, aaabbb)
Kontextsensitiv (CSG)	αXβ → αwβ (w darf nicht kürzer sein als X)	Mehr Kontextabhängigkeit, z.B. 3-mal Zählen	aXb → abb (wenn X zwischen a und b steht)	aⁿbⁿcⁿ (z.B. abc, aabbcc)

Erklärungen:

• Regulär: Nur ganz einfache Strukturen – keine verschachtelten oder abhängigen Teile.
• Kontextfrei: Kann einfache Paare wie aⁿbⁿ beschreiben (z.B. gleich viele a und b).
• Kontextsensitiv: Kann komplexe Abhängigkeiten darstellen – z.B. gleich viele a, b und c.

Reguläre Grammatiken

• Einfachste Grammatiken

(Rechts-)reguläre Grammatiken

• für alle α → β aus R gilt
  • α ∈ V
    • links steht genau eine Variable
  • β = u*v mit u ∈ Σ^*, v ∈ V ∪ \{ε\}
    • rechts steht wenn überhaupt, dann nur genau eine Variable am Ende
• Worte wachsen von links nach rechts

Kontextfreie Grammatiken

• Hauptsache α ist ein Teil der Variablen

Kontextsensitive Grammatiken

• für alle α → β aus R AUßER S→ε\} gilt:
  • α = u * X * v mit u,v ∈(Σ ∪ V)^* und X ∈ V
    • Symbol nur ersetzen, wenn bestimmte andere Symbole davor und danach stehen
      • Symbole davor und danach sind der Kontext
  • β = u*w*v mit w ∈ (Σ ∪ V)^+
    • Beim Ersetzen muss das neue Stück mindestens so lang sein wie das alte, also das Wort darf nicht kürzer werden.
  • S kommt nicht in β vor
    • S steht nie auf der rechten Seite

Monotone Grammatiken

• Wenn |β| ≥ |α|
• Keine Grammatik, die das leere Wort erzeugt ist monoton