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2025-05-18 15:33:18 +02:00

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Übungsblatt 5

Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)

Übung 1

Bestimmen Sie den Nerode-Index der folgenden Sprachen und begründen Sie Ihre Antwort.
Ist der Nerode-Index endlich, so geben Sie alle Nerode-Klassen der Sprache an.
Ist der Nerode-Index unendlich, so geben Sie 5 selbst gewählte Nerode-Klassen der Sprache an.

L_2 = \{ w \in \{ a, b \}^* \mid \#a(w) \equiv \#b(w) \mod 3 \} über dem Alphabet \Sigma_2 = \{ a, b \}
- Nerode-Index = 3
  - N_0 = N(ε) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 0 = \#_a(w) = \#b(w) \}
  - N_1 = N(a) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 1 ≡ \#_a(w) ≡ \#b(w) \mod 3\}
  - N_2 = N(aa) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 2 ≡ \#_a(w) ≡ \#b(w) \mod 3\}
  - N_3 = N(aaa) = \{w ∈ \{a,b\}^*\space|\space 0 ≡ \#_a(w) ≡ \#b(w) \mod 3\}
L_3 = \{ w \in \Sigma^* \mid w \text{ enthält eine ungerade Anzahl von Nullen} \} über dem Alphabet \Sigma_3 = \{ 0, 1 \}
- Nerode-Index = 2
  - N_1 = N(1) = \{w ∈ {0,1}^*\space|\space 0 ≡ \#_1(w) \mod 2\}
  - N_2 = N(0) = \{w ∈ {0,1}^*\space|\space 1 ≡ \#_1(w) \mod 2\}
L_4 = \{ w \cdot w^{\text{rev}} \mid w \in \{ 0, 1 \}^* \} über dem Alphabet \Sigma_3 = \{ 0, 1 \} Dabei ist w^{\text{rev}} die Umkehrung von w, also: w = w_1w_2\ldots w_n \Rightarrow w^{\text{rev}} = w_nw_{n-1}\ldots w_1 für n \in \mathbb{N},\ w_i \in \{ 0, 1 \}
- Nerode-Index = ∞
  - Man müsste unendlich viele Zustände speichern, um diese dann umgekehrt wieder einzufügen, daher unendlicher Nerode-Index
  - Beispiel Nerode-Klassen:
    - N_0 = N(\varepsilon) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid \exists u \in \{0,1\}^* : w = u \cdot u^{\text{rev}} \}
    - N_1 = N(0) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w \text{ beginnt mit } 0 \text{ und es existiert kein } u : w = u \cdot u^{\text{rev}} \}
    - N_2 = N(00) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w = 00 \cdot v \text{ mit } v \neq 00, \text{ sodass } w \notin L_4 \}
    - N_3 = N(1) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w \text{ beginnt mit } 1 \text{ und ist kein Palindrom der Form } u \cdot u^{\text{rev}} \}
    - N_4 = N(000) = \{ w \in \{0,1\}^* \mid w = 000 \cdot v, \text{ aber kein } u : w = u \cdot u^{\text{rev}} \}

Übung 2

Betrachten Sie die Sprache
L = \{ s \in \Sigma^* \mid \#0(s) = \#1(s) \}
über dem Alphabet \Sigma = \{ 0, 1 \}.

Welche der folgenden Mengen kann genutzt werden, um zu zeigen, dass L einen unendlichen Nerode-Index hat? Begründen Sie Ihre Antwort.

(a) X_1 = \{ 0^{2i}1^i \mid i \in \mathbb{N} \}
(b) X_2 = \{ 0 1^i 0^i 0 \mid i \in \mathbb{N} \}

Antwort:

(a)
- besteht aus mehr Nullen als Einsen
- Für zwei verschiedene Worte w_i und w_j
  - durch Anhängen eines Suffixes z, der gleichviele Nullen und Einsen hat
    - weiterhin nicht ∈ L
  - → Wörter lassen sich unterscheiden → nicht Nerode-Äquivalent
darum nicht (b):
- Unterschied immer genau zwei Nullen mehr als Einsen
  - Nicht sicher, dass sie alle Nerode-ungleich sind

Übung 3

Betrachten Sie den Automaten A aus Abbildung 1 über dem Alphabet \Sigma = \{ 0, 1 \}.
Lesen Sie sich nochmals Definition 4.8 aus den Vorlesungsfolien sowie die Definition der $k$-Äquivalenz (\equiv_k^A) durch.

3(a)

Beantworten Sie die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe der Definition von $k$-Äquivalenz.

(i) Sind a und g 1-äquivalent?
- nein, da man von q mithilfe vom Wort 1 in einen akzeptierenden Zustand kommt und von a aus nicht.
(ii) Sind a und g 2-äquivalent?
- nein, da sie auch nicht 1 äquivalent sind
(iii) Sind d und e 2-äquivalent?
- nein, da man mit dem Wort ε in unterschiedlich akzeptierenden Zuständen landet.
(iv) Sind d und f 1-äquivalent?
- ja, sie kommen für 1 bzw. 0 gleichermaßen in einen (nicht) akzeptierenden Zustand.
(v) Sind d und f 2-äquivalent?
- ja, da sie 1-äquivalent sind und für Wörter der Länge 2 ebenfalls gleich reagieren.

3(b)

Beschreiben Sie, was Sie tun müssen, um über die Definition von 6-Äquivalenz zu überprüfen, ob d und f 6-äquivalent sind. Wie aufwendig wäre dieses Vorgehen?

ich müsste alle Wörter der Länge ≤ 6 überprüfen in beiden Zuständen.
es gibt 2^7-1 verschiedene Wörter, die ich je zweimal einsetzen müsste.

3(c)

Die Zustände d und f sind 5-äquivalent (dies müssen Sie nicht selbst begründen).
Nutzen Sie dies aus, um mit möglichst wenig Aufwand zu überprüfen, ob d und f 6-äquivalent sind. Begründen Sie Ihre Antwort.

die beiden Zustände
- bleiben bei Eingabe von beliebig vielen Einsen im gleichen (akzeptierenden) Zustand.
- gehen bei Eingabe von einer 0 in den Zustand c
  - ab da gleiches Verhalten, da gleicher Zustand nach gleicher Eingabe
daher verhalten sie sich bei beliebiger Wortlänge identisch

3(d)

Bestimmen Sie für i \in \{0, 1, 2\} nachvollziehbar die $i$-äquivalenten Zustände von A.

i = 0
- \{\{d,f\},\{a,c,e,g\}\}
- akzeptierende, nicht akzeptierende Zustände
i = 1
- \{\{d,f\},\{c,e,g\},\{a\}\}
- d, f führen für
  - 0 in einen nicht akzeptierenden Zustand
  - 1 in einen akzeptierenden Zustand
- c, e, g führen für
  - 0 in einen nicht akzeptierenden Zustand
  - 1 in einen akzeptierenden Zustand
- a führt für
  - 0,1 in einen nicht akzeptierenden Zustand
i = 2
- \{\{d,f\},\{c,e,g\},\{a\}\}
- alle Übergänge bleiben wie bei i = 1
- Wörter 00, 01, 10, 11 führen in gleiche Akzeptanzklassen

Übung 4

4(a)

Gegeben sei eine Sprache L über dem Alphabet \Sigma. Sei i der Nerode-Index von L.
Was ist der Nerode-Index der Sprache \Sigma^* \setminus L? Begründen Sie Ihre Antwort.

da für alle Wörter u ∈ L gilt u \not ∈ L'
und alle akzeptierenden Zustände in L in L' nicht akzeptierend sind (und umgekehrt)
ist der Nerode-Index ebenfalls i

4(b)

Gegeben seien die Sprachen

L_1 = \{ a^n \mid n \in \mathbb{N} \}
L_2 = \{ b^n \mid n \in \mathbb{N} \}

über dem Alphabet \Sigma = \{ a, b \}.

Bestimmen Sie die Nerode-Indizes der Sprachen L_1, L_2 und L_1 \cup L_2 und begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

N(L_1)
- = 3
  - kein Zeichen eingegeben
  - b eingegeben
    - danach schleife auf sich selbst mit a,b
  - a eingegeben (akzeptierend)
    - Schleife auf sich selbst mit a
    - Übergang zu b eingegeben mit b
N(L_2)
- = 3
  - kein Zeichen eingegeben
  - a eingegeben
    - danach schleife auf sich selbst mit a,b
  - b eingegeben (akzeptierend)
    - Schleife auf sich selbst mit b
    - Übergang zu a eingegeben mit a
N(L_1 ∪ L_2)
- = 4
  - kein Zeichen eingegeben
  - a eingegeben (akzeptierend)
    - danach schleife auf sich selbst mit a
    - Übergang zu müllzustand mit b
  - b eingegeben (akzeptierend)
    - Schleife auf sich selbst mit b
    - Übergang zu müllzustand mit a
  - müllzustand

4(c)