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Grundlagen endlicher Automaten

Definition

Deterministischer endlicher Automat (DEA)

• 5-Tupel
  • A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)
    • Σ: endliches Eingabealphabet
    • Q: endliche Menge von Zuständen
    • q_s ∈ Q: Startzustand
    • Q_a ⊆ Q: akzeptierte Zustände
    • δ: Q x Σ → Q: Übergangsfunktion

Graphdarstellung G_A

• Graphknoten: Q
  • Startzustand: Knoten mit eingehender Kante ohne Quelle
  • akzeptierter Zustand: Knoten mit Doppelkreis
• gelabelte Kanten: Zustandsübergänge
  • Kante von q nach q' mit Label a ↔ δ(q,a) = q'

Beispiel einfacher endlicher Automat

• A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)
  • Σ=\{0,1\}
  • Q=\{q_1,q_2,q_3\}
  • q_s=q_1
  • Q_a=\{q_3\}
  • δ:

    • Zustand	δ(.,0)	δ(.,1)
      q_1	q_1	q_2
      q_2	q_1	q_3
      q_3	q_3	q_3

• Graphdarstellung
  • 

Sprache eines Automaten

Sei A=( Σ,Q,q_s,Q_a, δ) ein DEA. Die fortgesetzte Übergangsfunktion δ^*: Q x Σ^* →Q ist definiert durch

δ^*(q, ε):=q und

δ^*(q,wx):= δ( δ^*(q,w),x) für w ∈ Σ^* und x ∈ Σ

↑ ~induktive Definition

Sei $A= ( Σ,Q, q_s, Q_a, δ) ein DEA.

(a) Wir sagen A akzeptiert w ∈ Σ^*, wenn δ^*(q_s,w) ∈ Q_a

(b) Die von A akzeptierte Sprache ist L(A) := \{w ∈ Σ^* \space| \space A\space akzeptiert \space w\}

Übung:

(a) L_1 = \{a^nb^mc^k \space | \space n,m,k ≥ 1\}

Unvollständige Automaten

Ein unvollständiger deterministischer Automat A=( Σ, Q,Q_s, Q_a, δ) ist wie ein normaler DEA
mit folgenden Änderungen:

(a) Die Übergangsfunktion δ darf partiell sein

(b) Ist während einer Berechnung der nächste Zustand nicht definiert → Eingabe verwerfen

Beispiel unvollständiger Automat:

Nichtdeterministischer endlicher Automat (NEA)

Nichtdeterminismus

• Erlauben pro Zustand/Zeichen-Paar mehrere Folgezustände
  • die wiederum selbst wieder mehrere Folgezustände haben können
  • Eine Eingabe, mehrere Berechnungspfade
• Eingabe wird akzeptiert, wenn
  • Berechnungspfad existiert, der in akzeptierendem Zustand endet

Definition NEA

• 5-Tupel
  • A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)
    • Σ: endliches Eingabealphabet
    • Q: endliche Menge von Zuständen
    • q_s ∈ Q: Startzustand
    • Q_a ⊆ Q: akzeptierte Zustände
    • δ: Q x Σ → P(Q): Übergangsfunktion
• jede einzelne Berechnung wie beim DEA
  • starte in q_s
  • lies nächstes Zeichen
  • berechne Folgezustand mit δ
  • wechsle in Folgezustand
    • ist akzeptierend? → :)
    • sonst → verwerfe

    • Goldene Regel: Akzeptiere Eingabe, wenn akzeptierende Berechnung existiert

Sprache eines NEA

Sei N=( Σ,Q,q_s,Q_a, δ) ein NEA. Die fortgesetzte Übergangsfunktion δ^*: Qx Σ^*→P(Q) ist definiert durch:

δ^*(q, ε) := \{q\} und

δ^*(q,wx) := ∪ δ(q', x) für w ∈ Σ^* und x ∈ Σ

$q' ∈ δ^*(q,w)$

Beispiel NEA

NEA vs DEA

• NEA scheinbar viel mächtiger als DEAs
  • sehr viele Berechnungspfade (statt nur einem pro Wort)
• Alternativer Blick auf das Parsen eines NEAs
  • für jede Stelle der Eingabe
    • in welchen Zuständen könnte der NEA sein?
  • akzeptiere, wenn finaler Metazustand Zustand aus Q_a enthält
    • 

Potenzautomaten

Konstruktion und Sprache eines Potenzautomaten

Konstruktion: Funktionstabelle für δ

• 1. Spalte: bisher entdeckte Metazustände
• restliche Spalten: Folge-Metazustand für jedes Zeichen x ∈ Σ
• solange unvollständige Zeile existiert: ausfüllen
  • initial: nur \{s\} sicher erreichbar → eine unvollständige Zeile
  • je neu entdecktem Metazustand: lege neue Zeile an

Der Potenzautomat A_N eines NEA N ist ein deterministischer endlicher Automat mit L(A_N) = L(N)

Beweis:

Mächtigkeit & Grenzen endlicher Automaten

• parsen einfacher Strukturen

  • E-Mail
  • XML-Tags
  • Datumsformate
  • ...

• können sich Dinge merken

• NEAs betrachten viele Berechnungswege "gleichzeitig"

  • sind aber letztlich nur Syntactic Sugar
    • nur dafür da, dass es besser lesbar ist

• können sich nur so viel merken, wie sie Zustände haben

  • geht: das 17. Zeichen von w ist 0
  • geht nicht: das |w|/2. Zeichen von w ist 0

• können keine komplexen Strukturen erkennen

  • Palindrome
    • LAGERREGAL
  • arithmetische Ausdrücke
    • 42*(x+y)-z
  • Hierarchien
  • Verschachtelungen
  • ...