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Übungsblatt 3

Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)

Übung 1

Betrachten Sie den nichtdeterministischen Automaten N aus Abbildung 1 über dem
Alphabet Σ = \{ 0, 1 \}^*.

Automat N für Worte aus \{ 0, 1 \}^*, deren drittletztes Zeichen eine 0 ist.

1(a)

Wie viele Berechnungspfade gibt e, die das Wort 1111 lesen? Wie viele Berechnungsschritte (Verarbeitungen eines Zeichens) sind insgesamt notwendig, um all diese
Berechnungspfade (deterministisch) zu simulieren? Begründen Sie nachvollziehbar,
wie Sie auf Ihre Antworten gekommen sind.

Antwort:

Da wir bei jedem Übergang in a bleiben, gibt es nur einen möglichen Berechnungspfad für das Wort 1111

Die Anzahl der deterministischen Berechnungsschritte liegt bei 4, da der Pfad 4 Eingaben verarbeitet.

1(b)

Konstruieren Sie den Potenzautomaten A_N zu N. Geben Sie bei der Konstruktion
die Übergangsfunktion δ des Automaten A_N in tabellarischer Form an. Machen Sie
nach dem Abarbeiten einer Zeile deutlich, welche neuen Metazustände Sie gefunden
haben.

Zustand	δ(.,0)	δ(.,1)
a	{a,b}	a
{a,b}	{a,b,c}	{a,c}
{a,b,c}	{a,b,c,d}	{a,c,d}
{a,c}	{a,b,d}	{a,d}
{a,b,c,d} [$∈ Q_A$]	{a,b,c,d,ε}	{a,c,d,ε}
{a,c,d} [$∈ Q_A$]	{a,b,d,ε}	{a,d,ε}
{a,b,d} [$∈ Q_A$]	{a,b,c,ε}	{a,c,ε}
{a,d} [$∈ Q_A$]	{a,b,ε}	{a,ε}
{a,b,c,d,ε} [$∈ Q_A$]	{a,b,c,d,ε}	{a,c,d,ε}
{a,c,d,ε} [$∈ Q_A$]	{a,b,d,ε}	{a,d,ε}
{a,b,d,ε} [$∈ Q_A$]	{a,b,c,ε}	{a,c,ε}
{a,d,ε} [$∈ Q_A$]	{a,b,ε}	{a,ε}
{a,b,c,ε}	{a,b,c,d,ε}	{a,c,d,ε}
{a,c,ε}	{a,b,d,ε}	{a,d,ε}
{a,b,ε}	{a,b,c,ε}	{a,c,ε}
{a,ε}	{a,b,ε}	{a,ε}
b	c	c
c	d	d
d [$∈ Q_A$]	ε	ε
ε	ε	ε

@startuml
scale 0.3

top to bottom direction
skinparam dpi 150

skinparam state {
    BackgroundColor #FFFACD
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}

state "d" as d##[bold]
state "a" as a
state "{a,b}" as ab
state "{a,b,c}" as abc
state "{a,c}" as ac
state "{a,b,c,d}" as abcd##[bold]
state "{a,c,d}" as acd##[bold]
state "{a,b,d}" as abd##[bold]
state "{a,d}" as ad##[bold]
state "{a,b,c,d,ε}" as abcde##[bold]
state "{a,c,d,ε}" as acde##[bold]
state "{a,b,d,ε}" as abde##[bold]
state "{a,d,ε}" as ade##[bold]
state "{a,b,c,ε}" as abce
state "{a,c,ε}" as ace
state "{a,b,ε}" as abe
state "{a,ε}" as ae
state "b" as b
state "c" as c
state "ε" as e



[*] --> a

' Übergänge von a
a --> a : 1
a --> ab : 0

' Übergänge von {a,b}
ab --> abc : 0
ab --> ac : 1

' Übergänge von {a,b,c}
abc --> abcd : 0
abc --> acd : 1

' Übergänge von {a,c}
ac --> abd : 0
ac --> ad : 1

' Übergänge von {a,b,c,d}
abcd --> abcde : 0
abcd --> acde : 1

' Übergänge von {a,c,d}
acd --> abde : 0
acd --> ade : 1

' Übergänge von {a,b,d}
abd --> abce : 0
abd --> ace : 1

' Übergänge von {a,d}
ad --> abe : 0
ad --> ae : 1

' Übergänge von {a,b,c,d,ε}
abcde --> abcde : 0
abcde --> acde : 1

' Übergänge von {a,c,d,ε}
acde --> abde : 0
acde --> ade : 1

' Übergänge von {a,b,d,ε}
abde --> abce : 0
abde --> ace : 1

' Übergänge von {a,d,ε}
ade --> abe : 0
ade --> ae : 1

' Übergänge von {a,b,c,ε}
abce --> abcde : 0
abce --> acde : 1

' Übergänge von {a,c,ε}
ace --> abde : 0
ace --> ade : 1

' Übergänge von {a,b,ε}
abe --> abce : 0
abe --> ace : 1

' Übergänge von {a,ε}
ae --> abe : 0
ae --> ae : 1

' Übergänge von b
b --> c : 0
b --> c : 1

' Übergänge von c
c --> d : 0
c --> d : 1

' Übergänge von d (Endzustand Q_A)
d --> e : 0
d --> e : 1

' Schleife auf ε
e --> e : 0
e --> e : 1
@enduml

1(c)

Gibt es einen deterministischen endlichen Automaten mit weniger Zuständen als
A_N, der L(N) akzeptiert? Begründen Sie Ihre Antwort.

Antwort:

Um A_N zu minimieren, könnte man nicht erreichbare Zustände, in diesem Fall
{{b},{c},{d},{ε}}, entfernen.
Ansonsten ist der Automat bereits in minimaler Form, da die Zustände sich alle in ihrer
Erreichbarkeit und/oder ihrem Umgang mit Eingaben unterscheiden.

Übung 2

Betrachten Sie den nichtdeterministischen Automaten N aus Abbildung 2 über dem
Alphabet Σ = \{ x, y, z \}^*. Weiterhin seien die Zeichenketten s_1 = zzx, s_2 = xxyz,
s_3 = yyy, s_4 = xxz und s_5 = xxzxxzxxzxxz definiert.

2(a)

Geben Sie für jedes s_i (i ∈ \{ 1, 2, . . . , 5 \}) an, ob es eine Berechnung (Bearbeitungspfad) für den Automaten N gibt, welche die Zeichenkette si vollständig liest (also
alle Zeichen abarbeitet bevor entschieden wird, ob s_i akzeptiert wird oder nicht.)

Antwort:

• s_1: ja
• s_2: nein
• s_3: ja
• s_4: ja
• s_5: ja

2(b)

Geben Sie für jedes s_i (i ∈ \{ 1, 2, . . . , 5 \}) die Menge aller Zustände an, die N durch
die Zeichenkette si erreichen kann

Antwort:

• s_1: {a,b}
• s_2: {}
• s_3: {$e$}
• s_4: {a,d}
• s_5: {a,d}

2(c)

Wie viele Berechnungspfade gibt es, die das Wort s_5 vollständig lesen? Begründen
Sie nachvollziehbar, wie Sie auf Ihre Antwort gekommen sind.

Antwort:

• s_5 = xxzxxzxxzxxz = (xxz)^4
• Anzahl Pfade:
  • 4x (xxz) in a → nicht akzeptierend
  • 3x (xxz) in a → akzeptierend
  • 2x (xxz) in a → akzeptierend
  • 1x (xxz) in a → akzeptierend
  • 0x (xxz) in a → akzeptierend
• 5 Berechnungspfade

2(d)

Beschreiben Sie die Sprache L(N) aller Worte, die der Automat N akzeptiert
(formal oder informal, Ihre Wahl). Welche der Zeichenketten s_i (i ∈ \{ 1, 2, . . . , 5 \})
gehören zu L(N ), welche nicht?

Antwort:

• Automat N für Worte aus \{x,y,z\}^*, die kein y enthalten und die Zeichenkette xxy beinhalten
• L(N):=\{w ∈ Σ^* \space | \space w = a^n*b*c^n, n ∈ \mathbb{N}, a,c ∈ Σ\backslash\{y\}, b = xxz\}, Σ = \{c,y,z\}

2(e)

Beschreiben Sie die Sprache aller Worte, welche der Automat N nicht vollständig
bearbeiten kann, unabhängig davon ob N die Worte akzeptiert oder nicht (formal
oder informal, Ihre Wahl). Also die Worte, für die kein Berechnungspfad existiert
der alle Zeichen liest

Antwort:

• Informell: Alle Worte, welche nach einem y ein x oder z beinhalten.
• Formell: L(\not N) := \{w ∈ Σ^* \space | \space w = a^n*b^m*c^m*d^n, n ∈ \mathbb{N}, m ∈ \mathbb{N}_0, a,c ∈ \{x,z\}, b ∈ \{y\}, d ∈ Σ\}

Übung 3

3(a)

Gegeben sei ein beliebiger deterministischer endlicher Automat A = (Σ, Q, q_s, Q_a, δ).
Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automaten A in formaler Tupel-
Darstellung, der genau die Worte akzeptiert die A nicht akzeptiert. Beweisen Sie
die Korrektheit Ihrer Konstruktion.

Antwort:

• A' = (Σ,Q,q_s,Q'_a,δ)
  • Q'_a=Q\backslash Q_a
• Beweis:
  • wenn w ∈ Σ^* ein beliebiges Wort ist
    • δ(q_s, w) = q
    • Falls q ∈ Q_a
      • A akzeptiert das Wort
      • da q \not ∈ Q'_a, akzeptiert A' nicht
    • Falls q \not ∈ Q_a
      • A akzeptiert das Wort nicht
      • da q ∈ Q'_a, akzeptiert A'
    • Es gilt also
      • w ∈ L(A') ↔ w \not ∈ L(A)

3(b)

Gegeben sei ein beliebiger nichtdeterministischer endlicher Automat N = (Σ, Q, q_s, Q_a, δ).
Können Sie hier auf ähnliche Weise wie in Punkt (a) einen nichtdeterministischen
endlichen Automaten N konstruieren, der genau die Worte akzeptiert, die N nicht
akzeptiert? Falls ja, beweisen Sie die Korrektheit der Konstruktion. Falls nein,
geben Sie ein Beispiel für das die Konstruktion scheitert.

Antwort:

• Nein, kann nicht konstruiert werden
  • in einem NEA gibt es mindestens einen Pfad, der in einen akzeptierenden Zustand führt, damit das Wort akzeptiert wird
  • durch einfaches Subtrahieren der Mengen ändert sich nicht automatisch die Gesamtaussage über (Nicht-)Akzeptanz aller Pfade
• Beispiel
  • Σ = \{a\}
  • Q = \{q_0, q_1\}
  • q_s = q_0
  • δ

    • 	(.,a)
      q_0	\{q_0,q_1\}
      q_1

  • Verhalten von A
    • für w=a
      • q_0 \xrightarrow[a] q_0 → nicht akzeptierend
      • q_0 \xrightarrow[a] q_1 → akzeptierend
    • es existiert ein akzeptierender Pfad → a wird akzeptiert
  • Q'_a=\{q_0\}
    • für w=a
      • q_0 \xrightarrow[a] q_0 → akzeptierend
      • q_0 \xrightarrow[a] q_1 → nicht akzeptierend
    • es existiert ein akzeptierender Pfad → a wird wieder akzeptiert

Übung 4

Betrachten Sie die beiden deterministischen endlichen Automaten A_1 und A_2 aus Abbildung 3

4(a)

Beschreiben Sie den Aufbau von Worten w aus der Sprache L(A_1) ∪ L(A_2) (formal
oder informal, Ihre Wahl)

• informal: alle Worte, die genau drei 1 enthalten oder keine zwei 1 aufeinanderfolgend beinhalten

4(b)

Konstruieren Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten N_∪, der die
Sprache L(A_1) ∪ L(A_2) akzeptiert

@startuml
scale 0.50

left to right direction
skinparam dpi 150

skinparam state {
    BackgroundColor #FFFACD
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}




[*] --> S
S --> A1 : ε
S --> A2 : ε

' --- Automat A1 ---
state "A" as A1 {
  [*] --> a0
  a0 --> a0 : 0
  a0 --> a1 : 1
  a1 --> a1 : 0
  a1 --> a2 : 1
  a2 --> a2 : 0
  a2 --> a3 : 1
  a3 --> a3 : 0
  state a3##[bold]
}

' --- Automat A2 ---
state "B" as A2 {
  [*] --> b0
  b0 --> b0 : 0
  b0 --> b1 : 1
  b1 --> b0 : 0
  b1 --> b2 : 1
  state b0##[bold]
  state b1##[bold]
}


@enduml

4(c)

Beschreiben Sie den Aufbau von Worten w aus der Sprache L(A_1) ∩ L(A_2) (formal
oder informal, Ihre Wahl)

• Alle Wörter, die aus genau drei 1 bestehen und niemals 2x hintereinander eine 1 haben

4(d)

Konstruieren Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten N_∩, der die
Sprache L(A_1) ∩ L(A_2) akzeptiert

@startuml
scale 0.50

left to right direction
skinparam dpi 150

skinparam state {
    BackgroundColor #FFFACD
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}

[*] --> a

' a: noch keine 1 gelesen
state a {
}

a --> a : 0
a --> b : 1

' b: eine 1 gelesen, darf nur 0 folgen
b --> b : 0
b --> c : 0

' c: bereit für zweite 1
c --> d : 1

' d: zwei 1 gelesen, darf nur 0 folgen
d --> d : 0
d --> e : 0

' e: bereit für dritte 1
e --> f : 1

' f: drei 1 gelesen – akzeptierend
state f##[bold]
f --> f : 0
@enduml