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Übungsblatt 11

Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)

Aufgabe 1

Betrachten Sie die Sprache

L = \{ 9^i \mid 1 \leq i \leq 10 \} \cup \{ 11 \cdot (33)^i \cdot 0 \cdot 4^i \cdot 2 \mid i \in \mathbb{N} \}

Beachten Sie, dass 0 \notin \mathbb{N}.

1a)

Das Wort w = 11 \cdot 333333 \cdot 0 \cdot 444 \cdot 2 \in L ist aufpumpbar.
Finden Sie eine Zerlegung w = u \cdot x \cdot y \cdot z \cdot v, die dies belegt.
Geben Sie anschließend die aufgepumpten Wörter w_k := u \cdot x^k \cdot y \cdot z^k \cdot v für k = 0, 2, 3 an.

Zerlegung:

• u = 11 * 33
• x = (33)^2
• y = 0
• z = (4)^2
• v = 4 * 2

Die aufgepumpten Wörter sind:

• w_0 = 11 * 33 * 0 * 4 * 2 = 1133042
• w_2 = 11 * 33 * 3333 * 0 * 44 * 4 * 2 = 1133333304442
• w_3 = 11 * 33 * 333333 * 0 * 444 * 4 * 2 = 1133333333044442

1b)

Geben Sie alle aufpumpbaren Wörter der Sprache L an und begründen Sie, warum diese Wörter aufpumpbar sind.

Alle Wörter der Form 1133 * (33)^i * 0 * (4)^i * 42 für i \in \mathbb{N} sind aufpumpbar, da die Menge undendlich ist, eine regelmäßige Struktur aufweist und sich wiederholende Teile enthält.

1c)

Begründen Sie, warum die restlichen Wörter nicht aufpumpbar sind.

Wörter aus 9^i | 1 ≤ i ≤ 10 sind nicht aufpumpbar, da

• Sprache ist endlich (nur 10 Wörter)
  • Pumping-Lemma gilt nur für unendliche Sprachen
• Wörter bestehen nur aus einem Symbol (9), daher keine inneren Wiederholungen

Aufgabe 2

Betrachten Sie die Sprache

L = \{ a^i b^j c^i \mid i, j \in \mathbb{N} \}

2a)

Zeigen Sie, dass jedes w = a^i b^j c^i für i, j \in \mathbb{N} mit j \geq 2 1-beschränkt aufpumpbar ist, indem Sie eine passende Zerlegung w = u \cdot x \cdot y \cdot z \cdot v mit den notwendigen Eigenschaften finden (siehe Definition 7.3 und Folie 20, Kapitel 7).

• Wenn Pumpung in a/c-Bereich fällt:
  • bspw: w = a^2 b^1 c^2
    • u = ε, x=a, y=ε, v= abcc
    • w_2 = aaabcc \notin L, da a nicht mehr symmetrisch zu c ist
    • → Wiederspruch: 1-beschränkte Pumpung nicht möglich für alle Wörter
• Pumpen in b
  • w_k = a² b^{1+k} c² ∈ L für alle k
  • → für j ≥ 1 ist eine 1-beschränkte Pumpung möglich, wenn Pumpung in b-Block erfolgt

2b)

Zeigen Sie, dass jedes w = a^i b c^i für i \in \mathbb{N} mit i \geq 2 3-beschränkt aufpumpbar ist, indem Sie eine passende Zerlegung w = u \cdot x \cdot y \cdot z \cdot v mit den notwendigen Eigenschaften finden (siehe Definition 7.3 und Folie 20, Kapitel 7).

2c)

Sei w ein Wort einer Sprache L' (die wir nicht kennen) und sei w $\ell$-beschränkt aufpumpbar für ein \ell \in \mathbb{N}.
Ist w dann auch $2\ell$-beschränkt aufpumpbar? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.

Aufgabe 3

Sei L eine endliche Sprache (also |L| < \infty).
Erklären Sie, warum die Aussage des Pumping-Lemmas für kontextfreie Sprachen (Theorem 7.3 in den Folien zu Kapitel 7) trivialerweise erfüllt ist.
Geben Sie insbesondere ein passendes \ell an, welches die im Pumping-Lemma erwähnten Eigenschaften erfüllt.

Aufgabe 4

Betrachten Sie die Sprache

L = \{ w \cdot w \mid w \in \{ 0, 1 \}^+ \}

4a)

Zeigen Sie, dass das Wort 06 aufpumpbar ist.

4b)

Geben Sie ein möglichst kleines \ell \in \mathbb{N} an, so dass a^6 $\ell$-beschränkt aufpumpbar ist.

4c)

Nutzen Sie das Kochrezept aus der Vorlesung (Kapitel 7, Folie 23), um zu zeigen, dass L nicht kontextfrei ist.

Bemerkung: Eine gute Wahl für das Wort in Schritt (3) des Kochrezeptes ist w = 0^\ell 1^\ell \cdot 0^\ell 1.