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2025-06-15 20:26:52 +02:00

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Raw Blame History

Übungsblatt 6

Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)

Übung 1

Betrachten Sie folgendes algorithmisches Problem:

Bestimmung des Nerode-Index

Eingabe: ein (vollständiger) NEA N
Ausgabe: der Nerode-Index der Sprache L(N)

Beschreiben Sie eine algorithmische Lösung dieses Problems (stichpunktartig oder als Pseudocode).
Nutzen Sie dazu das in der Vorlesung gesammelte Wissen und begründen Sie damit die Durchführbarkeit und Korrektheit Ihrer Lösung.

Lösung:

Potenzautomat bilden
DEA minimieren
Zustände zählen

Übung 2

Betrachten Sie den Automaten A aus Abbildung 1 über dem Alphabet \Sigma = \{0,1\}.

2(a)

Wenden Sie das in den Vorlesungsfolien beschriebene Verfahren zur Minimierung des Automaten A an, um die Zustands-Äquivalenzklassen des Automaten A zu bestimmen.
Stellen Sie Ihr Vorgehen nachvollziehbar dar (orientieren Sie sich dazu an dem finalen Beispiel des Foliensatzes 4).

Äquivalenzklassen finden
- {a,b,c,d,h,f}, {e,g}
  - Zeuge: ε
- {a,c,d,f}, {b,h}, {e,g}
  - Zeuge: 1
- {a,d,c}, {f}, {b,h}, {e,g}
  - Zeuge: 01
- {a,c}, {d}, {f}, {b,h}, {e,g}
  - Zeuge: 11
- {a,c}, {d}, {f}, {b}, {h}, {e,g}
  - Zeuge: 001
Zustandsübergänge
- ≡_{a,c}
  - 1 → ≡_{d}
  - 0 → ≡_{b}
- ≡_{d}
  - 0,1 → ≡_{b}
- ≡_{b}
  - 0 → ≡_{a,c}
  - 1 → ≡_{e,g}
- ≡_{e,g}
  - 0 → ≡_{f}
  - 1 → ≡_{h}
- ≡_{h}
  - 0 → ≡_{f}
  - 1 → ≡_{e,g}
- ≡_{f}
  - 0, 1 → ≡_{f}

2(b)

Konstruieren Sie den Quotientenautomaten zu A mit Hilfe der von Ihnen bestimmten Zustands-Äquivalenzklassen (in der Graphdarstellung).

@startuml
scale 0.50

left to right direction
skinparam dpi 150

skinparam state {
    BackgroundColor #96cf95
    BorderColor black
    FontName Helvetica
    RoundCorner 30
    Shadowing false
    LineThickness 0
}


state eg##[bold]

[*] --> ac
ac --> d: 1 
ac --> b: 0
d --> b: 0,1
b --> ac: 0
b --> eg: 1
eg --> h: 1
eg --> f: 0
h --> eg: 1
h --> f: 0
f --> f: 0,1


@enduml

Übung 3

Betrachten Sie die beiden deterministischen endlichen Automaten A_1 und A_2 aus Abbildung 2.
Lesen Sie Kapitel 2.3.3 über das Äquivalenzproblem für endliche Automaten aus dem Skript.
Nutzen Sie das dort beschriebene Vorgehen, um nachvollziehbar zu überprüfen, ob die Automaten A_1 und A_2 die gleiche Sprache akzeptieren.

Übung 4

4(a)

Geben Sie die folgende Grammatik G_1 in formaler Tupel-Darstellung an.
Leiten Sie außerdem 5 Wörter der Sprache L(G_1) ab und beschreiben Sie anschließend L(G_1) in formaler Mengenschreibweise.

Grammatik G_1:

S \Rightarrow aSa\ |\ bSb\ |\ X
X \Rightarrow 0\ |\ 1
- Σ = \{a, b\}
- V = \{S, X\}
- S ∈ V
- R = \{S \Rightarrow aSa \mid bSb \mid X, X \Rightarrow 0 \mid 1\}

S \Rightarrow aSa \Rightarrow aaSaa \Rightarrow aaXaa \Rightarrow aa0aa
S \Rightarrow bSb \Rightarrow bbSbb \Rightarrow bbXbb \Rightarrow bb1bb
S \Rightarrow aSa \Rightarrow abSba \Rightarrow abXba \Rightarrow ab0ba
S \Rightarrow aSa \Rightarrow aaSaa \Rightarrow aaXaa \Rightarrow aa1aa
S \Rightarrow aSa \Rightarrow aXa \Rightarrow a0a

Die Sprache L(G_1) besteht aus Wörtern, die mit einer beliebigen Anzahl von as und bs beginnen und (in umgekehrter Reihenfolge) enden, wobei
zwischen den äußeren Zeichen ein Wort aus \{0, 1\} steht.

4(b)

Geben Sie die folgende Grammatik G_2 in formaler Tupel-Darstellung an.
Leiten Sie außerdem 5 Wörter der Sprache L(G_2) ab und beschreiben Sie anschließend L(G_2) in formaler Mengenschreibweise.

Grammatik G_2:

S \Rightarrow A00A
A \Rightarrow 0A\ |\ 1A\ |\ 0\ |\ 1
Σ = \{0, 1\}
V = \{S, A\}
S ∈ V
R = \{S \Rightarrow A00A, A \Rightarrow 0A \mid 1A \mid 0 \mid 1\}

S \Rightarrow A00A \Rightarrow 1A00A \Rightarrow 10A00A \Rightarrow 100A00A \Rightarrow 1000A00A \Rightarrow 10001
S \Rightarrow A00A \Rightarrow 0A00A \Rightarrow 00A00A \Rightarrow 000A00A \Rightarrow 0000A00A \Rightarrow 00001
S \Rightarrow A00A \Rightarrow 1A00A \Rightarrow 10A00A \Rightarrow 100A00A \Rightarrow 1000A00A \Rightarrow 10000A00A \Rightarrow 100001
S \Rightarrow A00A \Rightarrow 0A00A \Rightarrow 00A00A \Rightarrow 000A00A \Rightarrow 0001A00A \Rightarrow 00010A00A \Rightarrow 0001001
S \Rightarrow A00A \Rightarrow 1A00A \Rightarrow 10A00A \Rightarrow 100A00A \Rightarrow 1000A00A \Rightarrow 10001A00A \Rightarrow 1000100

Die Sprache besteht aus Wörtern, die aus einem Wort A gefolgt von 00 und dann wieder dem Wort A bestehen, wobei A eine beliebige Kombination von 0s und 1s ist.
Formale Mengenschreibweise:
L(G_2) = \{x00y \mid x, y \in \{0, 1\}^*\}

4(c)

Geben Sie alle möglichen Ableitungen mit Regeln aus der Grammatik G_2 für das Wort 10001 an.

S \Rightarrow A00A
A \Rightarrow 1A (1A00A)
A \Rightarrow 0 (1000A)
A \Rightarrow 1 (10001)

S \Rightarrow A00A
A \Rightarrow 0A (A000A)
A \Rightarrow 1 (1000A)
A \Rightarrow 1 (10001)

Übung 5

Betrachten Sie folgende Grammatik G:

S \Rightarrow x\ |\ yS
xy \Rightarrow yx
yx \Rightarrow xy

5(a)

Können Sie mit G das Wort xxy ableiten?

Nein, mit der Grammatik G kann das Wort xxy nicht abgeleitet werden.
Begründung:
- Die Regel xy \Rightarrow yx oder yx \Rightarrow xy erlaubt es nicht, ein x vor einem y zu platzieren, wenn bereits ein y abgeleitet wurde.

Können Sie mit G das Wort xyy ableiten?

Ja, mit der Grammatik G kann das Wort xyy abgeleitet werden.
Begründung:
- Die Ableitung erfolgt durch die Regel S \Rightarrow yS, gefolgt von der Regel S \Rightarrow x, was zu xyy führt.

5(b)

Beschreiben Sie die von G erzeugte Sprache in formaler Mengenschreibweise.

$L(G) ={w ∈{x,y}^* \mid #_X(w)=1}}

5(c)

Gibt es eine Grammatik G' mit L(G') = L(G), sodass G' weniger als vier Regeln hat?

Ja, es gibt eine Grammatik G' mit L(G') = L(G), die weniger als vier Regeln hat.
- Man kann die Regel $xy → yx streichen, da das x immer am Ende folgt und somit nur die Regel yx → xy benötigt wird.

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