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Reguläre Sprachen

Eine Sprache ist dann regulär, wenn der Nerode-Index endlich ist

• Bedeutet auch:
  • Für alle NEAs existiert eine reguläre Grammatik
  • Für alle regulären Sprachen existiert ein NEA

NEA → reguläre Grammatik

• Gegebener NEA
  • N=(Σ,Q,q_s,Q_a,δ)
• Definierbare Grammatik
  • G_N=(Σ,V,S,R)
  • V=Q
  • S=q_s
  • R
    • Regel q → x q' für alle q,q' ∈ Q, x ∈ Σ mit q' ∈ δ(q,x)
      • für alle Übergänge, welche in einen anderen Zustand übergehen, wird eine Regel der Form Ausgangszustand → Übergang Endzustand formuliert
    • Regel q → ε für alle q ∈ Q_a
      • alle akzeptierenden Zustände erhalten die Regel Zustand → ε
      • Grammatik darf beendet werden ohne weitere Übergänge
        • "Variable einfach entfernen"

Normalisieren einer Grammatik

• Alle Regeln, die mehrere Terminale und eine Variable besitzen (bspw. V→aaaX, V→abcX)
  • Aufsplitten in mehrere Regeln mit je einem Terminal und einer Variable
    • Bspw:
      • V → abcX
      • wird zu
        • V → aV_1^{(abcX)}
        • V_1^{(abcX)} → bV_2^{(abcX)}
        • V_2^{(abcX)} → cX
• Alle Regeln, die ≥1 Terminale besitzen und keine Variablen (bspw. V→aab, V→acb)
  • Aufsplitten in mehrere Regeln mit je einem Terminal und einer Variable
  • Hinzufügen einer Regel, die zu ε führt
    • Bspw:
      • V → abc
      • wird zu
        • V → aV_1^{(abc)}
        • V_1^{(abc)} → bV_2^{(abc)}
        • V_2^{(abc)} → cV_3^{(abc)}
        • V_1^{(abc)} → ε
• Für alle Regeln der Form V→W
  • Ersetzen durch V → β für alle Regeln W → β
    • Bspw:
      • V → aV | cX | W
      • W → bX | ε
      • wird zu
      • V → aV | cX | bX | ε
      • W → bX | ε

Reguläre Grammatik → NEA

1. Normalisiere Grammatik
2. erstelle NEA
   • Q = V
   • q_s = S ∈ Q
   • Q_a := \{q ∈ Q | q → ε) ∈ R\}
     • Alle Variablen, die einen Übergang nach ε haben, sind akzeptierte Zustände
   • δ
     • für alle q, q' ∈ Q und x ∈ Σ gilt
       • q' ∈ δ(q,x) existiert Regel q → xq' in R
         • Terminale werden zu Übergängen
         • Nicht-Terminale sind der Zielzustand

Beispiel

Wortproblem für reguläre Sprachen

Der natürliche Algorithmus

1. konstruiere NEA
2. konstruiere Potenzmengenautomat A
3. minimiere A und erhalte DEA
4. überprüfe ob DEA Eingabe akzeptiert

Vorteile:

• einfache, allgemeine Lösung
• Wiederverwendung des DEAs

Nachteile:

• Punkt 2 ist kostspielig
  • exponentiell in Grammatikgröße
  • insbesondere für einzelne Eingabe

NEA-basierter Algorithmus

1. konstruiere NEA
2. prüfe ob NEA Eingabe akzeptiert
   • aktuellen Metazustand merken, weiterrechnen, ...
   • 

Vorteile:

• kein Potenzmengenautomat
  • keine exponentielle Laufzeit

Nachteile:

• teuer für wiederholtes Wortproblem
  • NEA Wortproblem in O(|Q|²*|S|)
  • DEA Wortproblem in O(|S|)

Reguläre Ausdrücke

rekursiv definierte Zeichenkette über dem Alphabet Σ ∪ \{(,),|,.,*\}

• ε ist regulärer (Basis-) Ausdruck
• für jedes x ∈ Σ ist x ein regulärer (Basis-) Ausdruck
• sind α und β reguläre Ausdrücke, dann auch
  • (α | β) (α oder β)
  • (α * β) (α und β)
  • (α*) (kleensche Hülle (beliebig oft das Zeichen))
• Zusätzlich erlaubt:
  • weglassen des *
  • weglassen unnötiger Klammern
    • kleensche Hülle > Konkatenation > Vereinigung (Hoch vor Punkt vor Strich)
• Zusätzliche syntaktische Merkmale
  • (a)^+: mind. 1x a
  • (a)^?: ggf. 1x a
  • [acfw]: a | c | f | w = a oder c oder f oder w
  • [^acfw]: nicht eins von denen
  • [1-4]: [1234]