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@@ -120,6 +120,7 @@
             <toc-element topic="01Einleitung.md"/>
             <toc-element topic="02_GrundlagenFormaleSprachen.md"/>
             <toc-element topic="03_GrundlagenEndlicherAutomaten.md"/>
+            <toc-element topic="04_GrenzenGroesseEA.md"/>
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Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/04_GrenzenGroesseEA.md

@@ -0,0 +1,45 @@
+# Grenzen & Größen endlicher Automaten
+## Nerode-Index einer Sprache
+- Sei $L=\{w ∈ \{x,y,z\}^*\}\space | \space \#_z(w) ∈ \{2,3\}\}$
+- betrachte die Wörter aus $\{x, y, z\}^*$
+  - Gruppiere sie hinsichtlich des "Grad der Zugehörigkeit" zu $L$
+    - ![image_780.png](image_780.png)
+- Beobachtung:
+  - zwei Worte $u ∈ L$ und $v \not\in L$ sind sicherlich nicht sehr ähnlich
+  - zwei Worte $u,v ∈ L$ _können_ ähnlich sein 
+    - ähnlich: $zz$ und $yzxxzy$
+    - nicht ähnlich: $zz$ und $zzz$
+  - zwei Worte $u,v \not\in L$ _können_ ähnlich sein
+    - ähnlich: $ ε$ und $xxy$
+    - nicht ähnlich: $ ε$ und $yzxxxy$
+
+- **$u,v ∈ Σ^*$ sind ähnlich bezüglich $L$, wenn:**
+  - durch anhängigen des gleichen, beliebigen Wortes
+    - in beiden Fällen ein Wort aus $L$ entsteht
+    - in beiden Fällen ein Wort aus $Σ \backslash L$ entsteht
+
+### Rechtsäquivalenz
+- gegebene Sprache $L$ über Alphabet Σ
+- $u,v ∈ Σ^*$ heißen rechtsäquivalent bezüglich L, wenn
+  - $∀s ∈ Σ^*: u*s ∈ L ↔ v*s ∈ L$
+- wir schreiben auch: $(u,v) ∈ R_L$ oder $u \space R_L \space v$
+
+### Nerode-Klassen und -Index
+- gegebene Sprache $L$ über Alphabet Σ und Wort $u ∈ Σ^*$
+- **Nerode-Klasse $N(u)$**: Menge der zu $u$ rechtsäquivalenten Wörter:
+  - $N(u) := \{v ∈ Σ^* \space | \space (u,v) ∈ R_L\}$
+- **Nerode-Index** von L: Anzahl Nerode-Klassen
+
+### Beispiel
+- ist $v ∈ N(u)$ so gilt $N(v)=N(u)$
+- beliebiges $u ∈ N$ heißt _Repräsentant_ der Nerode-Klasse $N$
+
+- Wie lauten die Nerode-Klassen von der Sprache $L_1 = \{w ∈ \{x,y,z\}^* \space | \space \#_Z(w) ∈ \{2,3\}\}$?
+  - ![image_781.png](image_781.png)
+- Wie viele Nerode-Klassen hat $L_2=\{0^n*1^n \space | \space n ∈ N_0\}$
+  - ∞
+  - bspw. $N_i=N(0^i)$ für $i ∈ N_0$
+## Eigenschaften von Nerode-Klassen
+## Der Satz von Myhill-Nerode
+## Reaping the Fruits!
+## Minimierungsalgorithmus

Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe2.md

@@ -169,7 +169,7 @@ deterministischen Automaten, der die Sprache akzeptiert. Geben Sie die Automaten
 dabei sowohl in der formalen Tupel- als auch in der Graphdarstellung an. Begründen1
 Sie jeweils die Korrektheit Ihrer Konstruktion.
 
-### (a) Die Sprache $L1$ aller geraden natürlichen Zahlen in Dezimaldarstellung ohne führende Null (d. h. $\{ 0, 2, 8, 42 \} ⊆ L1$ aber $\{ 02, 23 \} ∩ L1 = ∅$). 
+### (a) Die Sprache $L1$ aller geraden natürlichen Zahlen in Dezimaldarstellung ohne führende Null  (d.h. $\{0, 2, 8, 42 \} ⊆ L1$, aber $\{02, 23 \} ∩ L1 = ∅$). 
 #### Tupeldarstellung (a)
 - $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
     - $Σ = \{0,...,9\}$
@@ -231,22 +231,20 @@ e --> e : {1,3,5,7,9}
 ### (b) Die Sprache $L2 = \{ w ∈ \{ 0, 7 \}^* \space|\space w\space enthält\space 007\space genau\space einmal\space als\space Teilwort \}$.
 #### Tupeldarstellung (b)
 - $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
-    - $Σ = \{0,...,9\}$
+    - $Σ = \{0,7\}$
     - $Q = \{a,b,c,d,e,f,g\}$
     - $q_s = \{a\}$
-    - $Q_a = \{d\}$
+    - $Q_a = \{d,e,f\}$
     - $δ:$
- 
- | Zustand | δ(.,0) | δ(.,1) | δ(.,2) | δ(.,3) | δ(.,4) | δ(.,5) | δ(.,6) | δ(.,7) | δ(.,8) | δ(.,9) |
-  |---------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|
-  | a       | b      | a      | a      | a      | a      | a      | a      | a      | a      | a      |
-  | b       | c      | a      | a      | a      | a      | a      | a      | a      | a      | a      |
-  | c       | a      | a      | a      | a      | a      | a      | a      | d      | a      | a      |
-  | **d**   | d      | d      | d      | d      | d      | d      | d      | e      | d      | d      |
-  | e       | d      | d      | d      | d      | d      | d      | d      | f      | d      | d      |
-  | f       | d      | d      | d      | d      | d      | d      | d      | g      | d      | d      |
-  | g       | g      | g      | g      | g      | g      | g      | g      | g      | g      | g      |
-
+        - | Zustand | δ(.,0) | δ(.,7) |
+          |---------|--------|--------|
+          | a       | b      | a      |
+          | b       | c      | a      |
+          | c       | d      | c      |
+          | **d**   | e      | d      |
+          | **e**   | f      | d      |
+          | **f**   | g      | f      |
+          | g       | g      | g      |
 
 
 #### Graphdarstellung (b)
@@ -265,15 +263,17 @@ skinparam state {
 }
 
 state d##[bold]
+state e##[bold]
+state f##[bold]
 
 
 [*] -right-> a
 a -right-> b : {0}
 b -right-> c : {0}
-c -right-> d : {7}
+c --> d : {7}
 d -right-> e : {0}
 e -right-> f : {0}
-f -right-> g : {7}
+f --> g : {7}
 
 b --> a : {7}
 a --> a : {7}