diff --git a/Writerside/images/image_780.png b/Writerside/images/image_780.png new file mode 100644 index 0000000..4f017e8 Binary files /dev/null and b/Writerside/images/image_780.png differ diff --git a/Writerside/images/image_781.png b/Writerside/images/image_781.png new file mode 100644 index 0000000..ef348ae Binary files /dev/null and b/Writerside/images/image_781.png differ diff --git a/Writerside/in.tree b/Writerside/in.tree index 59ca740..a1110c6 100644 --- a/Writerside/in.tree +++ b/Writerside/in.tree @@ -120,6 +120,7 @@ + diff --git a/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/04_GrenzenGroesseEA.md b/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/04_GrenzenGroesseEA.md new file mode 100644 index 0000000..61dd390 --- /dev/null +++ b/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/04_GrenzenGroesseEA.md @@ -0,0 +1,45 @@ +# Grenzen & Größen endlicher Automaten +## Nerode-Index einer Sprache +- Sei $L=\{w ∈ \{x,y,z\}^*\}\space | \space \#_z(w) ∈ \{2,3\}\}$ +- betrachte die Wörter aus $\{x, y, z\}^*$ + - Gruppiere sie hinsichtlich des "Grad der Zugehörigkeit" zu $L$ + - ![image_780.png](image_780.png) +- Beobachtung: + - zwei Worte $u ∈ L$ und $v \not\in L$ sind sicherlich nicht sehr ähnlich + - zwei Worte $u,v ∈ L$ _können_ ähnlich sein + - ähnlich: $zz$ und $yzxxzy$ + - nicht ähnlich: $zz$ und $zzz$ + - zwei Worte $u,v \not\in L$ _können_ ähnlich sein + - ähnlich: $ ε$ und $xxy$ + - nicht ähnlich: $ ε$ und $yzxxxy$ + +- **$u,v ∈ Σ^*$ sind ähnlich bezüglich $L$, wenn:** + - durch anhängigen des gleichen, beliebigen Wortes + - in beiden Fällen ein Wort aus $L$ entsteht + - in beiden Fällen ein Wort aus $Σ \backslash L$ entsteht + +### Rechtsäquivalenz +- gegebene Sprache $L$ über Alphabet Σ +- $u,v ∈ Σ^*$ heißen rechtsäquivalent bezüglich L, wenn + - $∀s ∈ Σ^*: u*s ∈ L ↔ v*s ∈ L$ +- wir schreiben auch: $(u,v) ∈ R_L$ oder $u \space R_L \space v$ + +### Nerode-Klassen und -Index +- gegebene Sprache $L$ über Alphabet Σ und Wort $u ∈ Σ^*$ +- **Nerode-Klasse $N(u)$**: Menge der zu $u$ rechtsäquivalenten Wörter: + - $N(u) := \{v ∈ Σ^* \space | \space (u,v) ∈ R_L\}$ +- **Nerode-Index** von L: Anzahl Nerode-Klassen + +### Beispiel +- ist $v ∈ N(u)$ so gilt $N(v)=N(u)$ +- beliebiges $u ∈ N$ heißt _Repräsentant_ der Nerode-Klasse $N$ + +- Wie lauten die Nerode-Klassen von der Sprache $L_1 = \{w ∈ \{x,y,z\}^* \space | \space \#_Z(w) ∈ \{2,3\}\}$? + - ![image_781.png](image_781.png) +- Wie viele Nerode-Klassen hat $L_2=\{0^n*1^n \space | \space n ∈ N_0\}$ + - ∞ + - bspw. $N_i=N(0^i)$ für $i ∈ N_0$ +## Eigenschaften von Nerode-Klassen +## Der Satz von Myhill-Nerode +## Reaping the Fruits! +## Minimierungsalgorithmus diff --git a/Writerside/topics/04/ti_hausaufgabe2.md b/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe2.md similarity index 88% rename from Writerside/topics/04/ti_hausaufgabe2.md rename to Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe2.md index 9f55878..f04cd84 100644 --- a/Writerside/topics/04/ti_hausaufgabe2.md +++ b/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe2.md @@ -169,7 +169,7 @@ deterministischen Automaten, der die Sprache akzeptiert. Geben Sie die Automaten dabei sowohl in der formalen Tupel- als auch in der Graphdarstellung an. Begründen1 Sie jeweils die Korrektheit Ihrer Konstruktion. -### (a) Die Sprache $L1$ aller geraden natürlichen Zahlen in Dezimaldarstellung ohne führende Null (d. h. $\{ 0, 2, 8, 42 \} ⊆ L1$ aber $\{ 02, 23 \} ∩ L1 = ∅$). +### (a) Die Sprache $L1$ aller geraden natürlichen Zahlen in Dezimaldarstellung ohne führende Null (d.h. $\{0, 2, 8, 42 \} ⊆ L1$, aber $\{02, 23 \} ∩ L1 = ∅$). #### Tupeldarstellung (a) - $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$ - $Σ = \{0,...,9\}$ @@ -231,22 +231,20 @@ e --> e : {1,3,5,7,9} ### (b) Die Sprache $L2 = \{ w ∈ \{ 0, 7 \}^* \space|\space w\space enthält\space 007\space genau\space einmal\space als\space Teilwort \}$. #### Tupeldarstellung (b) - $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$ - - $Σ = \{0,...,9\}$ + - $Σ = \{0,7\}$ - $Q = \{a,b,c,d,e,f,g\}$ - $q_s = \{a\}$ - - $Q_a = \{d\}$ + - $Q_a = \{d,e,f\}$ - $δ:$ - - | Zustand | δ(.,0) | δ(.,1) | δ(.,2) | δ(.,3) | δ(.,4) | δ(.,5) | δ(.,6) | δ(.,7) | δ(.,8) | δ(.,9) | - |---------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------| - | a | b | a | a | a | a | a | a | a | a | a | - | b | c | a | a | a | a | a | a | a | a | a | - | c | a | a | a | a | a | a | a | d | a | a | - | **d** | d | d | d | d | d | d | d | e | d | d | - | e | d | d | d | d | d | d | d | f | d | d | - | f | d | d | d | d | d | d | d | g | d | d | - | g | g | g | g | g | g | g | g | g | g | g | - + - | Zustand | δ(.,0) | δ(.,7) | + |---------|--------|--------| + | a | b | a | + | b | c | a | + | c | d | c | + | **d** | e | d | + | **e** | f | d | + | **f** | g | f | + | g | g | g | #### Graphdarstellung (b) @@ -265,15 +263,17 @@ skinparam state { } state d##[bold] +state e##[bold] +state f##[bold] [*] -right-> a a -right-> b : {0} b -right-> c : {0} -c -right-> d : {7} +c --> d : {7} d -right-> e : {0} e -right-> f : {0} -f -right-> g : {7} +f --> g : {7} b --> a : {7} a --> a : {7}