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2025-04-29 16:06:27 +02:00
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--- a/Informatik/04_GrenzenGroesseEA.md
+++ b/Informatik/04_GrenzenGroesseEA.md
@ -0,0 +1,45 @@
+# Grenzen & Größen endlicher Automaten
+## Nerode-Index einer Sprache
+- Sei $L=\{w ∈ \{x,y,z\}^*\}\space | \space \#_z(w) ∈ \{2,3\}\}$
+- betrachte die Wörter aus $\{x, y, z\}^*$
+  - Gruppiere sie hinsichtlich des "Grad der Zugehörigkeit" zu $L$
+    - ![image_780.png](image_780.png)
+- Beobachtung:
+  - zwei Worte $u ∈ L$ und $v \not\in L$ sind sicherlich nicht sehr ähnlich
+  - zwei Worte $u,v ∈ L$ _können_ ähnlich sein 
+    - ähnlich: $zz$ und $yzxxzy$
+    - nicht ähnlich: $zz$ und $zzz$
+  - zwei Worte $u,v \not\in L$ _können_ ähnlich sein
+    - ähnlich: $ ε$ und $xxy$
+    - nicht ähnlich: $ ε$ und $yzxxxy$
+
+- **$u,v ∈ Σ^*$ sind ähnlich bezüglich $L$, wenn:**
+  - durch anhängigen des gleichen, beliebigen Wortes
+    - in beiden Fällen ein Wort aus $L$ entsteht
+    - in beiden Fällen ein Wort aus $Σ \backslash L$ entsteht
+
+### Rechtsäquivalenz
+- gegebene Sprache $L$ über Alphabet Σ
+- $u,v ∈ Σ^*$ heißen rechtsäquivalent bezüglich L, wenn
+  - $∀s ∈ Σ^*: u*s ∈ L ↔ v*s ∈ L$
+- wir schreiben auch: $(u,v) ∈ R_L$ oder $u \space R_L \space v$
+
+### Nerode-Klassen und -Index
+- gegebene Sprache $L$ über Alphabet Σ und Wort $u ∈ Σ^*$
+- **Nerode-Klasse $N(u)$**: Menge der zu $u$ rechtsäquivalenten Wörter:
+  - $N(u) := \{v ∈ Σ^* \space | \space (u,v) ∈ R_L\}$
+- **Nerode-Index** von L: Anzahl Nerode-Klassen
+
+### Beispiel
+- ist $v ∈ N(u)$ so gilt $N(v)=N(u)$
+- beliebiges $u ∈ N$ heißt _Repräsentant_ der Nerode-Klasse $N$
+
+- Wie lauten die Nerode-Klassen von der Sprache $L_1 = \{w ∈ \{x,y,z\}^* \space | \space \#_Z(w) ∈ \{2,3\}\}$?
+  - ![image_781.png](image_781.png)
+- Wie viele Nerode-Klassen hat $L_2=\{0^n*1^n \space | \space n ∈ N_0\}$
+  - ∞
+  - bspw. $N_i=N(0^i)$ für $i ∈ N_0$
+## Eigenschaften von Nerode-Klassen
+## Der Satz von Myhill-Nerode
+## Reaping the Fruits!
+## Minimierungsalgorithmus
--- a/Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe2.md
+++ b/Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe2.md
@ -0,0 +1,376 @@
+# Übungsblatt 2
+> Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)
+
+## Übung 1
+Betrachten Sie den Automaten A aus Abbildung 1:
+![image_766.png](image_766.png)
+
+### (a) Wie lautet die formale Tupeldarstellung des Automaten?
+
+- $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
+  - $Σ = \{x,y\}$
+  - $Q = \{a,b,c,d\}$
+  - $q_s = \{a\}$
+  - $Q_a = \{d\}$
+  - $δ:$
+    - | Zustand | δ(.,x) | δ(.,y) |
+      |---------|--------|--------|
+      | a       | b      |        |
+      | b       | c      | b      |
+      | c       | d      | b      |
+      | d       |        | b      |
+
+### (b) Beschreiben Sie wie der Automat die Eingabe $xyyxyx$ verarbeitet.
+1. Start in Zustand $a$
+   - x → $δ(a,x)=b$
+2. Zustand $b$
+   - y → $ δ(b,y)=b$
+3. Zustand $b$
+   - y → $ δ(b,y)=b$
+4. Zustand $b$
+   - x → $ δ(b,x)=c$
+5. Zustand $c$
+   - y → $ δ(c,y)=b$
+6. Zustand $b$
+   - x → $ δ(b,x)=c$
+
+→ Endzustand: $c$, da der akzeptierende Zustand $d$ ist, wird die Eingabe nicht akzeptiert.
+
+### (c) Nennen Sie zwei verschiedene kürzeste Wörter, die von A akzeptiert werden und die jeweils jeden Übergang (Kante) aus Abbildung 1 mindestens einmal benutzen.
+
+$w_1 ∈ Σ^* := xyxxyxyxx$
+
+$w_2 ∈ Σ^* := xxyxxyyxx$
+
+### (d) Beschreiben Sie die von A akzeptierte Sprache sowohl informal (in Worten) als auch formal (als Teilmenge von $\{x,y\}^*$). 
+#### Informal:
+Die von A akzeptierte Sprache muss mit x beginnen und mit xx aufhören. Dazwischen dürfen beliebig viele x und y in beliebiger Reihenfolge sein.
+
+#### Formal:
+$L_A:= \{w \space | \space w = x*a*xx, a ∈ \{x,y\}^*\}$
+
+### (e) Automat $A$ ist unvollständig (die Übergangsfunktion ist partiell). Geben Sie einen vollständigen Automaten $A′$ mit $L(A′) = L(A)$ in Graphdarstellung an. 
+
+```plantuml
+@startuml
+scale 0.5
+
+left to right direction
+skinparam dpi 150
+
+skinparam state {
+    BackgroundColor #FFFACD
+    BorderColor black
+    FontName Helvetica
+    RoundCorner 30
+    Shadowing false
+    LineThickness 0
+}
+state a 
+state d##[bold]
+
+[*] --> a
+a --> b : x
+a --> e : y
+b --> b : y
+b --> c : x
+c --> b : y
+c --> d : x
+d --> d : x
+d --> b : y
+e --> e : x,y
+@enduml
+```
+
+## Übung 2
+Betrachten Sie die Sprache $ L = \{s ∈ Σ^* \space | \space s \space hat \space das\space Präfix\space 42\space und \space endet \space nicht \space auf \space 23 \}$ 
+über dem Alphabet $ Σ=\{0,1,...,9\}$.
+
+### (a) Beschreiben Sie einen vollständigen endlichen Automaten in Graphdarstellung der die Sprache L akzeptiert.
+> Annahme, dass das Wort `423` von L nicht akzeptiert wird, da `42` der Präfix ist und das Wort gleichzeitig auf `23` endet.
+
+```plantuml
+@startuml
+scale 0.5
+
+left to right direction
+skinparam dpi 150
+
+skinparam state {
+    BackgroundColor #FFFACD
+    BorderColor black
+    FontName Helvetica
+    RoundCorner 30
+    Shadowing false
+    LineThickness 0
+}
+
+state c##[bold]
+state d##[bold]
+
+[*] --> a
+a -up-> f : {0,...,9}\{4}
+a --> b : {4}
+b -up-> f : {0,...,9}\{2}
+f --> f : {0,...,9}
+b --> d: {2}
+c --> c : {0,...,9}\{2}
+c --> d : {2}
+d --> c : {0,...,9}\{2,3}
+d --> d : {2}
+d --> e : {3}
+e --> c : {0,...,9}\{2}
+e --> d : {2}
+@enduml
+```
+
+### (b) Beschreiben Sie einen vollständigen endlichen Automaten in Graphdarstellung der genau die nicht-leeren Zeichenketten über dem Alphabet $Σ$ akzeptiert, die keine Wörter der Sprache L sind.
+```plantuml
+@startuml
+scale 0.5
+left to right direction
+skinparam dpi 150
+
+skinparam state {
+    BackgroundColor #FFFACD
+    BorderColor black
+    FontName Helvetica
+    RoundCorner 30
+    Shadowing false
+    LineThickness 0
+}
+
+state f##[bold]
+state b##[bold]
+state e##[bold]
+
+[*] --> a
+a -up-> f : {0,...,9}\{4}
+a --> b : {4}
+b -up-> f : {0,...,9}\{2}
+f --> f : {0,...,9}
+b --> d: {2}
+c --> c : {0,...,9}\{2}
+c --> d : {2}
+d --> c : {0,...,9}\{2,3}
+d --> d : {2}
+d --> e : {3}
+e --> c : {0,...,9}\{2}
+e --> d : {2}
+@enduml
+```
+
+
+
+
+## Übung 3
+Beschreiben Sie für jede der nachfolgend definierten Sprachen jeweils einen endlichen
+deterministischen Automaten, der die Sprache akzeptiert. Geben Sie die Automaten
+dabei sowohl in der formalen Tupel- als auch in der Graphdarstellung an. Begründen1
+Sie jeweils die Korrektheit Ihrer Konstruktion.
+
+### (a) Die Sprache $L1$ aller geraden natürlichen Zahlen in Dezimaldarstellung ohne führende Null  (d.h. $\{0, 2, 8, 42 \} ⊆ L1$, aber $\{02, 23 \} ∩ L1 = ∅$). 
+#### Tupeldarstellung (a)
+- $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
+    - $Σ = \{0,...,9\}$
+    - $Q = \{a,b,c,d,e\}$
+    - $q_s = \{a\}$
+    - $Q_a = \{b,d\}$
+    - $δ:$
+
+| Zustand | δ(.,0) | δ(.,1) | δ(.,2) | δ(.,3) | δ(.,4) | δ(.,5) | δ(.,6) | δ(.,7) | δ(.,8) | δ(.,9) |
+|---------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|
+| a       | b      | e      | d      | e      | d      | e      | d      | e      | d      | e      |
+| **b**   | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      |
+| c       | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      | c      |
+| **d**   | d      | e      | d      | e      | d      | e      | d      | e      | d      | e      |
+| e       | d      | e      | d      | e      | d      | e      | d      | e      | d      | e      |
+
+
+
+
+#### Graphdarstellung (a)
+```plantuml
+@startuml
+scale 0.5
+
+left to right direction
+skinparam dpi 150
+
+skinparam state {
+    BackgroundColor #FFFACD
+    BorderColor black
+    FontName Helvetica
+    RoundCorner 30
+    Shadowing false
+    LineThickness 0
+}
+
+state b##[bold]
+state d##[bold]
+
+[*] --> a
+a --> b : {0}
+b -up-> c : {0,...,9}
+b --> c : {0,...,9}
+a --> d : {2,4,6,8}
+a --> e : {1,3,5,7,9}
+d --> e : {1,3,5,7,9}
+d --> d : {0,2,4,6,8}
+e --> d : {0,2,4,6,8}
+e --> e : {1,3,5,7,9}
+@enduml
+```
+
+#### Begründung (a)
+- Startzustand a: nur 0 wird in b geschickt (direkt akzeptierend)
+- Andere Ziffern (2, 4, 6, 8) leiten in d, auch akzeptierend, aber nur wenn keine führenden Nullen davor kamen
+- Zustand e „hält“ ungerade Endziffern (nicht akzeptierend)
+- Folgeziffern verhalten sich konsistent
+
+### (b) Die Sprache $L2 = \{ w ∈ \{ 0, 7 \}^* \space|\space w\space enthält\space 007\space genau\space einmal\space als\space Teilwort \}$.
+#### Tupeldarstellung (b)
+- $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
+    - $Σ = \{0,7\}$
+    - $Q = \{a,b,c,d,e,f,g\}$
+    - $q_s = \{a\}$
+    - $Q_a = \{d,e,f\}$
+    - $δ:$
+        - | Zustand | δ(.,0) | δ(.,7) |
+          |---------|--------|--------|
+          | a       | b      | a      |
+          | b       | c      | a      |
+          | c       | d      | c      |
+          | **d**   | e      | d      |
+          | **e**   | f      | d      |
+          | **f**   | g      | f      |
+          | g       | g      | g      |
+
+
+#### Graphdarstellung (b)
+```plantuml
+@startuml
+scale 0.5
+skinparam dpi 150
+
+skinparam state {
+    BackgroundColor #FFFACD
+    BorderColor black
+    FontName Helvetica
+    RoundCorner 30
+    Shadowing false
+    LineThickness 0
+}
+
+state d##[bold]
+state e##[bold]
+state f##[bold]
+
+
+[*] -right-> a
+a -right-> b : {0}
+b -right-> c : {0}
+c --> d : {7}
+d -right-> e : {0}
+e -right-> f : {0}
+f --> g : {7}
+
+b --> a : {7}
+a --> a : {7}
+c --> c : {0}
+d --> d : {7}
+e --> d : {7}
+f --> f : {0}
+g --> g : {0,7}
+@enduml
+```
+
+#### Begründung (b)
+- Einmaliges Vorkommen von 007 wird erkannt und in d akzeptiert
+- Zweites Vorkommen leitet in g, das nicht akzeptierend ist
+- Rücksprünge für unpassende Sequenzen sind korrekt konstruiert
+
+### (c) Die Sprache $L3 = \{ w ∈ \{ a, b \}^* \space| \space \#_a(w) ≡ \#_b(w) mod 3 \}$.
+#### Tupeldarstellung (c)
+- $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
+  - $Σ=\{a,b\}$
+  - $Q=\{q0,q1,q2\}$
+  - $q_s=\{q0\}$
+  - $Q_a=\{q0\}$
+  - $ δ:$
+    - $δ(q,a)=(q+1) \space mod \space 3,δ(q,b)=(q−1) \space mod \space 3$
+    - | Zustand | δ(.,a) | δ(.,b) |
+      |---------|--------|--------|
+      | q0      | q1     | q2     |
+      | q1      | q2     | q0     |
+      | q2      | q0     | q1     |
+
+#### Graphdarstellung (c)
+
+```plantuml
+@startuml
+scale 0.5
+left to right direction
+skinparam dpi 150
+
+skinparam state {
+    BackgroundColor #FFFACD
+    BorderColor black
+    FontName Helvetica
+    RoundCorner 30
+    Shadowing false
+    LineThickness 0
+}
+
+state q0##[bold]
+
+
+[*] -right-> q0
+q0 -right-> q1 : a
+q0 --> q2 : b
+q1 -right-> q2: a
+q1 --> q0 : b
+q2 --> q0 : a
+q2 --> q1 : b
+@enduml
+```
+
+#### Begründung (c)
+- q0 wird genau dann erreicht, wenn $\#_a ≡ \#_b mod 3$
+- Übergänge sind konsistent
+
+## Übung 4
+Betrachten Sie die Sprache $L = \{ w ∈ \{ 0, 1 \}^* \space|\space \#_1(w) = 3 \}$. Beschreiben Sie einen
+Automaten in der Graphdarstellung, der die Sprache $L$ akzeptiert, und beweisen Sie die
+Korrektheit Ihrer Konstruktion.
+
+```plantuml
+@startuml
+scale 0.5
+left to right direction
+skinparam dpi 150
+
+skinparam state {
+    BackgroundColor #FFFACD
+    BorderColor black
+    FontName Helvetica
+    RoundCorner 30
+    Shadowing false
+    LineThickness 0
+} 
+
+state q3##[bold]
+
+
+[*] --> q0
+q0 --> q1 : 1
+q0 --> q0 : 0
+q1 --> q2 : 1
+q1 --> q1 : 0
+q2 --> q3 : 1
+q2 --> q2 : 0
+q3 --> q3 : 0
+q3 --> q4 : 1
+q4 --> q4 : 0,1
+@enduml
+```