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Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/01Einleitung.md

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 ### Lösungsansatz
 - ungerichteter Graph $G = (V, E)$ 
   - V = endliche Knotenmenge
-  - E = endliche Kangenmenge
+  - E = endliche Kantenmenge
+    - wichtige Eigenschaft: si, sj verträglich oder nicht
+
 
 > Graph G=(V,E) für kommende Abbildung:
+> 
 >   V = {s1, s2, s3, s4, s5, s6},
 >   E = {{s1, s4}, {s1, s5}, {s2, s4}, {s2, s5}, {s3, s6}, {s4, s5}}
 
-![image_554.png](image_554.png)
+![image_588.png](image_588.png)
 
-#### Clique C
+### Formalisierung des algorithmischen Vorgehens
+1. Verträglichkeitsgraphen erstellen ($G = (V,E)$)
+2. finde eine größte [Clique](#clique-c) $C_1$ in V
+3. Entferne aus G alle Knoten aus $C_1$ und Kanten Adjazent zu $C_1$
+   - $V ← V $ \\ $ C_1$
+   - $E ← E $ \ {$e ∈ E | e ∩ C_1 \neq ∅$}
+4. finde eine größte [Clique](#clique-c) $C_2$ in V
+5. ...
+
+
+
+## Clique C
 nicht-leere Teilmenge $C \subseteq V$, wenn zwei verschiedene Knoten in C paarweise durch eine Kante aus E verbunden sind
 
 **Es gilt:**
@@ -26,3 +40,44 @@ per Definition ist **auch jede einelementige Teilmenge** $C \subseteq V$ eine Cl
 Größe einer Clique:
 $|C|$
 
+
+### Maximum Clique-Size
+> Eingabe: Graph V = (V, E)
+> 
+> Ausgabe: Größe einer größten Clique C von G
+
+> Theorem 1.1
+> 
+> Algorithmus A löse MaximumClique. Dann existiert Algorithmus B mit ~ gleicher Laufzeit der MaximumCliqueSize löst.
+
+1. Verträglichkeitsgraphen erstellen ($G = (V,E)$)
+2. finde eine größte [Clique](#clique-c) $C_1$ in V
+3. zähle Elemente der Clique
+
+> Theorem 1.2
+> 
+> Algorithmus A löse MaximusCliqueSize. Dann existiert Algorithmus B mit ähnlicher Laufzeit der MaximumClique löst.
+
+**Zentrale Beobachtung**:
+- Für G = (V, E) und v ∈ V sei G - v = (V\v,{e ∈ E | v !∈ e}).
+- Sei k die Größe einer Clique in G und $k_{-v}$ die Größe einer größten Clique in G-v.
+- Dann gilt:
+  - (a) v ∈ allen größten Cliquen → $k_{-v}$ = k - 1
+  - (b) v !∈ allen größten Cliquen → $k_{-v}$ = k
+![image_589.png](image_589.png)
+
+### MaximumCliqueDec
+> Eingabe: Graph V = (V, E) und k ∈ Ν 
+> 
+> Ausgabe: gibt es eine Clique C der Größe k in G?
+
+> Theorem 1.3
+> 
+> Algorithmus A löse MaximumCliqueDec. Dann existiert ähnlicher Algorithmus B mit ähnlicher Laufzeit, der MaximumCliqueSize löst.
+
+**B(G, k) für G = (V, E)**
+1. Verträglichkeitsgraphen erstellen ($G = (V,E)$)
+2. Cliquen finden
+3. Elemente der ersten Clique zählen
+4. falls Elemente = k -> Abbruch sonst zur nächsten
+