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Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/04_GrenzenGroesseEA.md

@@ -149,6 +149,12 @@ Dann definieren wir den DEA $A_L =(Σ, Q, q_s, Q_a, δ)$:
 
 - in beiden Fällen: "ähnlich" ≈ "gleiches Verhalten für Folgewort"
 
+#### k-Äquivalenz
+- $q ∈ Q$ ist ein Zustand eines DEA
+- $L^k_A(q):=L_A(q) ∩ \{w ∈ Σ^* \space | \space |w| ≤ k\}$
+  - Sprache von Zustand $q$ beschränkt auf Worte der Länge $≤ k$
+- **k-Äquivalenz**
+  - $q_1 ≡^k_A q_2 ↔ L^k_A(q_1) = L^k_A(q_2)$
 
 ### Minimierungsstrategie
 1. Bestimme Äquivalenzklassen bzgl. $≡_A$

Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe5.md

@@ -65,29 +65,60 @@ Lesen Sie sich nochmals Definition 4.8 aus den Vorlesungsfolien sowie die Defini
 Beantworten Sie die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe der Definition von $k$-Äquivalenz. 
 
 - (i) Sind $a$ und $g$ 1-äquivalent?
+  - nein, da man von q mithilfe vom Wort `1` in einen akzeptierenden Zustand kommt und von a aus nicht.
 - (ii) Sind $a$ und $g$ 2-äquivalent?
+  - nein, da sie auch nicht 1 äquivalent sind
 - (iii) Sind $d$ und $e$ 2-äquivalent?
+  - nein, da man mit dem Wort `ε` in unterschiedlich akzeptierenden Zuständen landet.
 - (iv) Sind $d$ und $f$ 1-äquivalent?
+  - ja, sie kommen für `1` bzw. `0` gleichermaßen in einen (nicht) akzeptierenden Zustand.
 - (v) Sind $d$ und $f$ 2-äquivalent?
+  - ja, da sie 1-äquivalent sind und für Wörter der Länge `2` ebenfalls gleich reagieren.
 
 ### 3(b)
 Beschreiben Sie, was Sie tun müssen, um über die Definition von 6-Äquivalenz zu überprüfen, ob $d$ und $f$ 6-äquivalent sind. Wie aufwendig wäre dieses Vorgehen? 
+- ich müsste alle Wörter der Länge ≤ 6 überprüfen in beiden Zuständen.
+- es gibt $2^7-1$ verschiedene Wörter, die ich je zweimal einsetzen müsste.
 
 ### 3(c)
 Die Zustände $d$ und $f$ sind 5-äquivalent (dies müssen Sie nicht selbst begründen). 
 Nutzen Sie dies aus, um mit möglichst wenig Aufwand zu überprüfen, ob $d$ und $f$ 6-äquivalent sind. Begründen Sie Ihre Antwort. 
+- die beiden Zustände
+  - bleiben bei Eingabe von beliebig vielen Einsen im gleichen (akzeptierenden) Zustand.
+  - gehen bei Eingabe von einer `0` in den Zustand `c`
+    - ab da gleiches Verhalten, da gleicher Zustand nach gleicher Eingabe
+- daher verhalten sie sich bei beliebiger Wortlänge identisch
+
 
 ### 3(d)
 Bestimmen Sie für $i \in \{0, 1, 2\}$ nachvollziehbar die $i$-äquivalenten Zustände von $A$. 
+- $i = 0$
+  - $\{\{d,f\},\{a,c,e,g\}\}$
+  - akzeptierende, nicht akzeptierende Zustände
+- $i = 1$
+    - $\{\{d,f\},\{c,e,g\},\{a\}\}$
+    - d, f führen für
+      - `0` in einen nicht akzeptierenden Zustand
+      - `1` in einen akzeptierenden Zustand
+    - c, e, g führen für
+      - `0` in einen nicht akzeptierenden Zustand
+      - `1` in einen akzeptierenden Zustand
+    - a führt für
+      - `0,1` in einen nicht akzeptierenden Zustand
+- $i = 2$
+    - $\{\{d,f\},\{c,e,g\},\{a\}\}$
+    - alle Übergänge bleiben wie bei $i = 1$
+    - Wörter `00`, `01`, `10`, `11` führen in gleiche Akzeptanzklassen
 
 
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-
 ## Übung 4
 
 ### 4(a)
 Gegeben sei eine Sprache $L$ über dem Alphabet $\Sigma$. Sei $i$ der Nerode-Index von $L$. 
 Was ist der Nerode-Index der Sprache $\Sigma^* \setminus L$? Begründen Sie Ihre Antwort. 
+- da für alle Wörter $u ∈ L$ gilt $u \not ∈ L'$
+- und alle akzeptierenden Zustände in $L$ in $L'$ nicht akzeptierend sind (und umgekehrt)
+- ist der Nerode-Index ebenfalls $i$
 
 ### 4(b)
 Gegeben seien die Sprachen
@@ -98,6 +129,33 @@ Gegeben seien die Sprachen
 
 Bestimmen Sie die Nerode-Indizes der Sprachen $L_1$, $L_2$ und $L_1 \cup L_2$ und begründen Sie jeweils Ihre Antwort. 
 
+- $N(L_1)$
+  - $= 3$
+    - kein Zeichen eingegeben
+    - b eingegeben
+      - danach schleife auf sich selbst mit $a,b$
+    - a eingegeben (akzeptierend)
+      - Schleife auf sich selbst mit $a$
+      - Übergang zu _b eingegeben_ mit $b$
+- $N(L_2)$
+    - $= 3$
+        - kein Zeichen eingegeben
+        - a eingegeben 
+            - danach schleife auf sich selbst mit $a,b$
+        - b eingegeben (akzeptierend)
+            - Schleife auf sich selbst mit $b$
+            - Übergang zu _a eingegeben_ mit $a$ 
+- $N(L_1 ∪ L_2)
+  - $= 4$
+    - kein Zeichen eingegeben
+    - a eingegeben (akzeptierend)
+      - danach schleife auf sich selbst mit $a$
+      - Übergang zu _müllzustand_ mit $b$
+    - b eingegeben (akzeptierend)
+      - Schleife auf sich selbst mit $b$
+      - Übergang zu _müllzustand_ mit $a$
+    - müllzustand
+
 ### 4(c)
 Gegeben seien die Sprachen
 - $L_1 = \{ a^n \mid n \in \mathbb{N}_0 \}$
@@ -106,6 +164,35 @@ Gegeben seien die Sprachen
 
 Bestimmen Sie die Nerode-Indizes der Sprachen $L_1$, $L_2$ und $L_1 \cup L_2$ und begründen Sie jeweils Ihre Antwort. 
 
+- $N(L_1)$
+    - $= 2$
+        - Startzustand (akzeptierend)
+            - schleife auf sich selbst mit $a$
+            - Übergang zu _b eingegeben_ mit $b$
+          - b eingegeben
+            - Schleife auf sich selbst mit $a,b$
+- $N(L_2)$
+    - $= 2$
+        - Startzustand (akzeptierend)
+            - schleife auf sich selbst mit $b$
+            - Übergang zu _a eingegeben_ mit $a$
+        - a eingegeben
+            - Schleife auf sich selbst mit $a,b$
+- $N(L_1 ∪ L_2)
+    - $= 4$
+        - Startzustand (akzeptierend)
+        - a eingegeben (akzeptierend)
+            - danach schleife auf sich selbst mit $a$
+            - Übergang zu _müllzustand_ mit $b$
+        - b eingegeben (akzeptierend)
+            - Schleife auf sich selbst mit $b$
+            - Übergang zu _müllzustand_ mit $a$
+        - müllzustand
+
 ### 4(d)
 Gegeben sei eine Sprache $L_1$ über einem Alphabet $\Sigma$. 
 Wählen Sie eine Sprache $L_2$ über demselben Alphabet $\Sigma$, so dass der Nerode-Index der Sprache $L_1 \cup L_2$ möglichst klein wird. Begründen Sie Ihre Wahl. 
+- Kleinstmöglicher $N(L_1 ∪ L_2) wenn eins von
+  - $L_1 ⊆ L_2$
+  - $L_2 ⊆ L_1$
+- Nichts Neues kommt hinzu, daher muss auch nichts Neues unterschieden werden