From ba945f65065e01f17db5afda3b1a7e9bfe791b43 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: David Schirrmeister Date: Sun, 18 May 2025 10:11:11 +0200 Subject: [PATCH] update --- .../04_GrenzenGroesseEA.md | 6 ++ .../Hausaufgaben/ti_hausaufgabe5.md | 91 ++++++++++++++++++- 2 files changed, 95 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/04_GrenzenGroesseEA.md b/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/04_GrenzenGroesseEA.md index 9c9466b..0e3ed4e 100644 --- a/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/04_GrenzenGroesseEA.md +++ b/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/04_GrenzenGroesseEA.md @@ -149,6 +149,12 @@ Dann definieren wir den DEA $A_L =(Σ, Q, q_s, Q_a, δ)$: - in beiden Fällen: "ähnlich" ≈ "gleiches Verhalten für Folgewort" +#### k-Äquivalenz +- $q ∈ Q$ ist ein Zustand eines DEA +- $L^k_A(q):=L_A(q) ∩ \{w ∈ Σ^* \space | \space |w| ≤ k\}$ + - Sprache von Zustand $q$ beschränkt auf Worte der Länge $≤ k$ +- **k-Äquivalenz** + - $q_1 ≡^k_A q_2 ↔ L^k_A(q_1) = L^k_A(q_2)$ ### Minimierungsstrategie 1. Bestimme Äquivalenzklassen bzgl. $≡_A$ diff --git a/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe5.md b/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe5.md index 5e9567e..a564774 100644 --- a/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe5.md +++ b/Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe5.md @@ -65,29 +65,60 @@ Lesen Sie sich nochmals Definition 4.8 aus den Vorlesungsfolien sowie die Defini Beantworten Sie die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe der Definition von $k$-Äquivalenz. - (i) Sind $a$ und $g$ 1-äquivalent? + - nein, da man von q mithilfe vom Wort `1` in einen akzeptierenden Zustand kommt und von a aus nicht. - (ii) Sind $a$ und $g$ 2-äquivalent? + - nein, da sie auch nicht 1 äquivalent sind - (iii) Sind $d$ und $e$ 2-äquivalent? + - nein, da man mit dem Wort `ε` in unterschiedlich akzeptierenden Zuständen landet. - (iv) Sind $d$ und $f$ 1-äquivalent? + - ja, sie kommen für `1` bzw. `0` gleichermaßen in einen (nicht) akzeptierenden Zustand. - (v) Sind $d$ und $f$ 2-äquivalent? + - ja, da sie 1-äquivalent sind und für Wörter der Länge `2` ebenfalls gleich reagieren. ### 3(b) Beschreiben Sie, was Sie tun müssen, um über die Definition von 6-Äquivalenz zu überprüfen, ob $d$ und $f$ 6-äquivalent sind. Wie aufwendig wäre dieses Vorgehen? +- ich müsste alle Wörter der Länge ≤ 6 überprüfen in beiden Zuständen. +- es gibt $2^7-1$ verschiedene Wörter, die ich je zweimal einsetzen müsste. ### 3(c) Die Zustände $d$ und $f$ sind 5-äquivalent (dies müssen Sie nicht selbst begründen). Nutzen Sie dies aus, um mit möglichst wenig Aufwand zu überprüfen, ob $d$ und $f$ 6-äquivalent sind. Begründen Sie Ihre Antwort. +- die beiden Zustände + - bleiben bei Eingabe von beliebig vielen Einsen im gleichen (akzeptierenden) Zustand. + - gehen bei Eingabe von einer `0` in den Zustand `c` + - ab da gleiches Verhalten, da gleicher Zustand nach gleicher Eingabe +- daher verhalten sie sich bei beliebiger Wortlänge identisch + ### 3(d) Bestimmen Sie für $i \in \{0, 1, 2\}$ nachvollziehbar die $i$-äquivalenten Zustände von $A$. +- $i = 0$ + - $\{\{d,f\},\{a,c,e,g\}\}$ + - akzeptierende, nicht akzeptierende Zustände +- $i = 1$ + - $\{\{d,f\},\{c,e,g\},\{a\}\}$ + - d, f führen für + - `0` in einen nicht akzeptierenden Zustand + - `1` in einen akzeptierenden Zustand + - c, e, g führen für + - `0` in einen nicht akzeptierenden Zustand + - `1` in einen akzeptierenden Zustand + - a führt für + - `0,1` in einen nicht akzeptierenden Zustand +- $i = 2$ + - $\{\{d,f\},\{c,e,g\},\{a\}\}$ + - alle Übergänge bleiben wie bei $i = 1$ + - Wörter `00`, `01`, `10`, `11` führen in gleiche Akzeptanzklassen ---- - ## Übung 4 ### 4(a) Gegeben sei eine Sprache $L$ über dem Alphabet $\Sigma$. Sei $i$ der Nerode-Index von $L$. Was ist der Nerode-Index der Sprache $\Sigma^* \setminus L$? Begründen Sie Ihre Antwort. +- da für alle Wörter $u ∈ L$ gilt $u \not ∈ L'$ +- und alle akzeptierenden Zustände in $L$ in $L'$ nicht akzeptierend sind (und umgekehrt) +- ist der Nerode-Index ebenfalls $i$ ### 4(b) Gegeben seien die Sprachen @@ -98,6 +129,33 @@ Gegeben seien die Sprachen Bestimmen Sie die Nerode-Indizes der Sprachen $L_1$, $L_2$ und $L_1 \cup L_2$ und begründen Sie jeweils Ihre Antwort. +- $N(L_1)$ + - $= 3$ + - kein Zeichen eingegeben + - b eingegeben + - danach schleife auf sich selbst mit $a,b$ + - a eingegeben (akzeptierend) + - Schleife auf sich selbst mit $a$ + - Übergang zu _b eingegeben_ mit $b$ +- $N(L_2)$ + - $= 3$ + - kein Zeichen eingegeben + - a eingegeben + - danach schleife auf sich selbst mit $a,b$ + - b eingegeben (akzeptierend) + - Schleife auf sich selbst mit $b$ + - Übergang zu _a eingegeben_ mit $a$ +- $N(L_1 ∪ L_2) + - $= 4$ + - kein Zeichen eingegeben + - a eingegeben (akzeptierend) + - danach schleife auf sich selbst mit $a$ + - Übergang zu _müllzustand_ mit $b$ + - b eingegeben (akzeptierend) + - Schleife auf sich selbst mit $b$ + - Übergang zu _müllzustand_ mit $a$ + - müllzustand + ### 4(c) Gegeben seien die Sprachen - $L_1 = \{ a^n \mid n \in \mathbb{N}_0 \}$ @@ -106,6 +164,35 @@ Gegeben seien die Sprachen Bestimmen Sie die Nerode-Indizes der Sprachen $L_1$, $L_2$ und $L_1 \cup L_2$ und begründen Sie jeweils Ihre Antwort. +- $N(L_1)$ + - $= 2$ + - Startzustand (akzeptierend) + - schleife auf sich selbst mit $a$ + - Übergang zu _b eingegeben_ mit $b$ + - b eingegeben + - Schleife auf sich selbst mit $a,b$ +- $N(L_2)$ + - $= 2$ + - Startzustand (akzeptierend) + - schleife auf sich selbst mit $b$ + - Übergang zu _a eingegeben_ mit $a$ + - a eingegeben + - Schleife auf sich selbst mit $a,b$ +- $N(L_1 ∪ L_2) + - $= 4$ + - Startzustand (akzeptierend) + - a eingegeben (akzeptierend) + - danach schleife auf sich selbst mit $a$ + - Übergang zu _müllzustand_ mit $b$ + - b eingegeben (akzeptierend) + - Schleife auf sich selbst mit $b$ + - Übergang zu _müllzustand_ mit $a$ + - müllzustand + ### 4(d) Gegeben sei eine Sprache $L_1$ über einem Alphabet $\Sigma$. Wählen Sie eine Sprache $L_2$ über demselben Alphabet $\Sigma$, so dass der Nerode-Index der Sprache $L_1 \cup L_2$ möglichst klein wird. Begründen Sie Ihre Wahl. +- Kleinstmöglicher $N(L_1 ∪ L_2) wenn eins von + - $L_1 ⊆ L_2$ + - $L_2 ⊆ L_1$ +- Nichts Neues kommt hinzu, daher muss auch nichts Neues unterschieden werden \ No newline at end of file