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Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe11.md

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+# Übungsblatt 11
+> Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)
+
+## Aufgabe 1
+
+Betrachten Sie die Sprache
+
+$$
+L = \{ 9^i \mid 1 \leq i \leq 10 \} \cup \{ 11 \cdot (33)^i \cdot 0 \cdot 4^i \cdot 2 \mid i \in \mathbb{N} \}
+$$
+
+Beachten Sie, dass $0 \notin \mathbb{N}$.
+
+### 1a)
+Das Wort $w = 11 \cdot 333333 \cdot 0 \cdot 444 \cdot 2 \in L$ ist aufpumpbar.  
+Finden Sie eine Zerlegung $w = u \cdot x \cdot y \cdot z \cdot v$, die dies belegt.  
+Geben Sie anschließend die aufgepumpten Wörter $w_k := u \cdot x^k \cdot y \cdot z^k \cdot v$ für $k = 0, 2, 3$ an.
+
+Zerlegung:
+- $u = 11 * 33$
+- $x = (33)^2$
+- $y = 0$
+- $z = (4)^2$
+- $v = 4 * 2$
+
+Die aufgepumpten Wörter sind:
+- $w_0 = 11 * 33 * 0 * 4 * 2 = 1133042$
+- $w_2 = 11 * 33 * 3333 * 0 * 44 * 4 * 2 = 1133333304442$
+- $w_3 = 11 * 33 * 333333 * 0 * 444 * 4 * 2 = 1133333333044442$
+
+### 1b)
+Geben Sie alle aufpumpbaren Wörter der Sprache $L$ an und begründen Sie, warum diese Wörter aufpumpbar sind.
+
+Alle Wörter der Form $1133 * (33)^i * 0 * (4)^i * 42$ für $i \in \mathbb{N}$ sind aufpumpbar, da 
+die Menge undendlich ist, eine regelmäßige Struktur aufweist und sich wiederholende Teile enthält.
+
+### 1c)
+Begründen Sie, warum die restlichen Wörter nicht aufpumpbar sind.
+
+Wörter aus $9^i | 1 ≤ i ≤ 10$ sind nicht aufpumpbar, da
+- Sprache ist endlich (nur 10 Wörter)
+    - Pumping-Lemma gilt nur für unendliche Sprachen
+- Wörter bestehen nur aus einem Symbol (9), daher keine inneren Wiederholungen
+
+## Aufgabe 2
+
+Betrachten Sie die Sprache
+
+$$
+L = \{ a^i b^j c^i \mid i, j \in \mathbb{N} \}
+$$
+
+### 2a)
+Zeigen Sie, dass jedes $w = a^i b^j c^i$ für $i, j \in \mathbb{N}$ mit $j \geq 2$ 1-beschränkt aufpumpbar ist, indem Sie eine passende Zerlegung $w = u \cdot x \cdot y \cdot z \cdot v$ mit den notwendigen Eigenschaften finden (siehe Definition 7.3 und Folie 20, Kapitel 7).
+
+- Wenn Pumpung in a/c-Bereich fällt:
+  - bspw: w = $a^2 b^1 c^2$
+    - $u = ε$, $x=a$, $y=ε$, $v= abcc$
+    - $w_2 = aaabcc \notin L$, da a nicht mehr symmetrisch zu c ist
+    - → Wiederspruch: 1-beschränkte Pumpung nicht möglich für alle Wörter
+- Pumpen in b
+  - $w_k = a² b^{1+k} c²$ ∈ L für alle k
+  - → für j ≥ 1 ist eine 1-beschränkte Pumpung möglich, wenn Pumpung in b-Block erfolgt
+
+### 2b)
+Zeigen Sie, dass jedes $w = a^i b c^i$ für $i \in \mathbb{N}$ mit $i \geq 2$ 3-beschränkt aufpumpbar ist, indem Sie eine passende Zerlegung $w = u \cdot x \cdot y \cdot z \cdot v$ mit den notwendigen Eigenschaften finden (siehe Definition 7.3 und Folie 20, Kapitel 7).
+
+
+
+### 2c)
+Sei $w$ ein Wort einer Sprache $L'$ (die wir nicht kennen) und sei $w$ $\ell$-beschränkt aufpumpbar für ein $\ell \in \mathbb{N}$.  
+Ist $w$ dann auch $2\ell$-beschränkt aufpumpbar? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.
+
+## Aufgabe 3
+
+Sei $L$ eine endliche Sprache (also $|L| < \infty$).  
+Erklären Sie, warum die Aussage des Pumping-Lemmas für kontextfreie Sprachen (Theorem 7.3 in den Folien zu Kapitel 7) trivialerweise erfüllt ist.  
+Geben Sie insbesondere ein passendes $\ell$ an, welches die im Pumping-Lemma erwähnten Eigenschaften erfüllt.
+
+## Aufgabe 4
+
+Betrachten Sie die Sprache
+
+$$
+L = \{ w \cdot w \mid w \in \{ 0, 1 \}^+ \}
+$$
+
+### 4a)
+Zeigen Sie, dass das Wort $06$ aufpumpbar ist.
+
+### 4b)
+Geben Sie ein möglichst kleines $\ell \in \mathbb{N}$ an, so dass $a^6$ $\ell$-beschränkt aufpumpbar ist.
+
+### 4c)
+Nutzen Sie das Kochrezept aus der Vorlesung (Kapitel 7, Folie 23), um zu zeigen, dass $L$ nicht kontextfrei ist.
+
+**Bemerkung:** Eine gute Wahl für das Wort in Schritt (3) des Kochrezeptes ist $w = 0^\ell 1^\ell \cdot 0^\ell 1$.