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Writerside/in.tree

@@ -145,6 +145,8 @@
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Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/06_ReguläreSprachen.md

@@ -115,3 +115,5 @@ Nachteile:
   - $[acfw]$: $a | c | f | w$ =  a oder c oder f oder w
   - $[^acfw]$: nicht eins von denen
   - $[1-4]$: [1234]
+
+> Sprachen sind von einem regulären Ausdruck beschreibbar, wenn Nerode-Index endlich ist

Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/07_kontextfreieSprachen.md

@@ -0,0 +1,17 @@
+# Kontextfreie Sprachen
+## Chomsky Normalform
+- Eine Grammatik ist in der CNF, wenn
+  - α ∈ V
+  - β in Σ ODER β = X*Y mit X,Y ∈ V
+  - S nicht auf der rechten Seite
+
+### Umwandlung kontextfreier Grammatiken in CNF
+1. Falls `S` irgendwo auf der rechten Seite ist
+   - Altes `S` in `S'` umbenennen
+   - Neue Variable `S → S'` hinzufügen
+2. Alle epsilon Regeln entfernen (außer `S → ε`)
+3. Alle Regeln der Form `A→B` entfernen
+4. Alle Regleln der Form `A→β` mit |β| > 2 umwandeln
+   - $A → X_1X_2...X_n$ in A → $X_1Y_1$, $Y_1 → X_2Y_2$, ..., $Y_{n-1} → X_n$
+   - 
+   - 

Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe10.md

@@ -0,0 +1,138 @@
+# Übungsblatt 10
+> Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)
+
+## Aufgabe 1
+
+### 1a)
+Gegeben sei folgende CNF-Grammatik $G_1$:
+
+```
+G_1:  
+S → AB | CD  
+C → AB  
+D → BA  
+A → 0  
+B → 1
+```
+
+Nutzen Sie den CYK-Algorithmus, um zu entscheiden, ob das Wort $w = 0110$ zur Sprache $L(G_1)$ gehört.  
+Legen Sie dazu eine Tabelle analog zu dem Beispiel aus der Vorlesung (Kapitel 7, Folie 16) an und füllen Sie diese entsprechend aus.
+
+| $Var(w)_{[i,j]}(G_1)$ | 1       | 2       | 3  | 4       |
+|-----------------------|---------|---------|----|---------|
+| 1                     | $\{A\}$ | {S,C}   | {} | $\{S\}$ |
+| 2                     | -       | $\{B\}$ | {} | {}      |
+| 3                     | -       | -       |    | $\{D\}$ |
+| 4                     | -       | -       | -  | $\{A\}$ |
+
+→ $w ∈ L(G_1)$
+
+### 1b)
+Gegeben sei folgende CNF-Grammatik $G_2$:
+
+```
+G_2:  
+S → AB  
+A → AA | AC | a  
+B → BC | b  
+C → CC | a | c
+```
+
+Nutzen Sie analog zu Aufgabe 1a den CYK-Algorithmus, um zu entscheiden, ob das Wort $w = acb$ zur Sprache $L(G_2)$ gehört.
+
+| $Var(w)_{[i,j]}(G_2)$ | 1         | 2         | 3       |
+|-----------------------|-----------|-----------|---------|
+| 1                     | $\{A,C\}$ | $\{A,C\}$ | $\{S\}$ |
+| 2                     | -         | $\{C\}$   | {}      |
+| 3                     | -         | -         | $\{B\}$ |
+
+→ $w ∈ L(G_1)$
+
+## Aufgabe 2
+
+Gegeben sei folgende CNF-Grammatik $G$:
+
+```
+G:  
+S → AB  
+A → AA | AC | a  
+B → BC | b  
+C → CC | a | c
+```
+
+### 2a)
+Zeichnen Sie zwei verschiedene Syntaxbäume für das Wort $w = acacaaabaca \in L(G)$.
+
+![image_961.png](image_961.png)
+
+### 2b)
+Finden Sie ein Wort $w \in L(G)$, zu dem ein Ableitungsbaum mit möglichst wenig Knoten existiert, und zeichnen Sie den zugehörigen Ableitungsbaum.
+
+$w = ab$
+
+![image_962.png](image_962.png)
+
+## Aufgabe 3
+
+Betrachten Sie die folgenden Grammatiken $G_1$ und $G_2$. Gibt es zu der jeweiligen Grammatik $G_i$ ($i \in \{1, 2\}$) ein Wort $w \in L(G_i)$ mit mehr als einem Syntaxbaum? Begründen Sie Ihre Antwort.
+
+### 3a)
+
+```
+G_1:  
+S → 0 1 | 0 S 1
+```
+
+Nein, es gibt kein Wort mit mehreren Syntaxbäumen, da die Regeln jeden Schritt genau vorgeben, da
+wir nur eine Regel mit Rekursion haben, ist keine Mehrdeutigkeit möglich.
+
+### 3b)
+
+```
+G_2:  
+S → 0 B | 1 A  
+A → 0 | 0 S | 1 A A  
+B → 1 | 1 S | 0 B B
+```
+
+Nein, es gibt keine Möglichkeit mehrere Syntaxbäume zu bilden, da zwar eine Rekursion möglich ist durch
+$B → 0BB$ und $A→1AA$, jedoch durch die 1 und 0 vor den Variablen kein alternativer Pfad gebildet werden kann.
+
+## Aufgabe 4
+
+Für eine Sprache $L$ über einem Alphabet $\Sigma$ definieren wir
+
+$$
+L^R := \{ w^R \mid w \in L \}
+$$
+
+Dabei gilt $w^R = w_n w_{n-1} \dots w_1$ für $w = w_1 w_2 \dots w_n \in L$ mit $w_i \in \Sigma$.
+
+Beschreiben Sie ein algorithmisches Verfahren, das aus einer kontextfreien Grammatik $G$ eine kontextfreie Grammatik $G^R$ erzeugt, so dass $L(G^R) = L(G)^R$ gilt. Begründen Sie die Korrektheit Ihres Verfahrens.
+
+Gegeben: $G=(Σ, V, S, R)$
+- S, V und Σ bleiben gleich
+- Für jede Regel $A → X_1X_2...X_n$
+  - Regel $A → X_n, X_{n-1}, ..., X_1$ hinzufügen
+
+Da kontextfreie Grammatiken keine Einschränkungen hinsichtlich der Position von (Nicht-)Terminalen in Regeln haben,
+bleibt die resultierende Grammatik $G^R$ kontextfrei.
+Die Korrektheit folgt daraus, dass jede Regel in $G$ eine Regel in $G^R$ erzeugt, die das gleiche Wort in umgekehrter Reihenfolge generiert.
+
+## Aufgabe 5
+
+Für eine Sprache $L$ über dem Alphabet $\Sigma = \{ 0, 1 \}$ definieren wir
+
+$$
+L^{\text{prfx}} := \{ x \in \Sigma^\ast \mid \exists y \in \Sigma^\ast : x \cdot y \in L \}
+$$
+
+Beschreiben Sie ein algorithmisches Verfahren, das aus einer regulären Grammatik $G$ eine reguläre Grammatik $G_{\text{prfx}}$ erzeugt, so dass $L(G_{\text{prfx}}) = L(G)_{\text{prfx}}$ gilt. Begründen Sie die Korrektheit Ihres Verfahrens.
+
+Gegeben: $G=(Σ, V, S, R)$
+- Wandle G in einen NEA N um
+- Markiere alle Zustände als akzeptierend → $N_{prfx}$
+  - Präfix kann beliebig lang sein und muss kein nachfolgendes Symbol haben
+- Wandle $N_{prfx}$ in eine rechtslineare Grammatik $G_{prfx}$ um
+
+- Oder für jede Nichtterminale die Regel $A → ε$ hinzufügen

Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe9.md

@@ -0,0 +1,147 @@
+# Übungsblatt 9
+> Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)
+
+## Aufgabe 1
+Geben Sie für die folgende Sprachen über dem Alphabet $\Sigma = \{ a, b, c \}$ eine kontextfreie Grammatik $G_1$ an, so dass $L(G_1) = L_1$ gilt:
+
+**$L_1 = \{ a^m b^c n \mid n, m \in \mathbb{N}, m < n + 1 \}$**
+
+```
+S → aXc
+X → aXc | Xc | b
+```
+
+$L_2 = \{ a^m b^c n \mid n, m \in \mathbb{N}, m > n + 1 \}$
+
+```
+S → aaaXc 
+X → aXc | aX | b
+```
+
+$L_3 = \{ a^m b^c n \mid n, m \in \mathbb{N}, m \neq n + 1 \}$
+
+```
+S → aXc | aaaYc
+X → aXc | Xc | b
+Y → aYc | aY | b
+```
+
+## Aufgabe 2
+
+### 2a)
+Geben Sie eine kontextfreie Grammatik $G_{arithm}$ an, welche die Sprache der vollständig geklammerten arithmetischen Ausdrücke über dem Alphabet $\Sigma = \{ 0, 1, \dots, 9, +, -, \cdot, /, (, ) \}$ erzeugt.  
+Beispiel: $((23 - 42)/21) \in L(G_{arithm})$
+
+```
+S → (SOS) | Z
+O → + | - | * | /
+Z → OZ | O
+O → 0 | 1 | ... | 9
+```
+
+### 2b)
+Geben Sie eine kontextfreie Grammatik $G_{reg}$ an, welche die Sprache der vollständig geklammerten regulären Ausdrücke für reguläre Sprachen über dem Alphabet $\{ 0, 1, \dots, 9 \}$ erzeugt.
+
+```
+S → (S|S) | (S*S) | (S*) | O 
+O → OZ | Z
+Z → 0 | 1 | ... | 9
+```
+
+## Aufgabe 3
+
+### 3a)
+Gegeben sei die folgende kontextfreie Grammatik $G$ über dem Alphabet $\Sigma = \{ x, y, z \}$:
+
+```
+S → y S y | H  
+H → x H | x | H'  
+H' → H | z
+```
+
+Geben Sie eine CNF-Grammatik $G'$ an, so dass $L(G') = L(G)$ gilt. Geben Sie geeignete Zwischenschritte an und erläutern Sie Ihr Vorgehen.
+
+```
+G'(0):
+S → S'
+S' → yS'y | H
+H → xH | x | H'
+H' → H | z
+
+G'(1):
+S → S'
+S' → yS'y | H
+H → xH | x | H'
+H' → H | z
+
+G'(2):
+S → yS'y | xH | x | z
+S' → yS'y | xH | x |z
+H → xH | x | z
+
+G'(3):
+S → XS'' | XH | x | z
+S'' → S'Y
+S' → YS'' | XH | x | z
+H → XH | x | z
+Y → y
+X → x
+```
+
+
+### 3b)
+Geben Sie für die Sprache $L = \{ v \cdot a^n b^n \mid v \in \{ a, b, c \}^\ast, n \in \mathbb{N} \}$ eine CNF-Grammatik $G$ an, so dass $L(G) = L$ gilt.
+
+$$S → VX | V_aX_1 | V_aV_b$$
+$$V → V_aV | V_bV | V_cV | a | b | c$$
+$$X → V_aX_1 | V_aV_b$$
+$$X_1 → XV_b$$
+$$V_a → a$$
+$$V_b → b$$
+$$V_c → c$$
+
+
+
+## Aufgabe 4
+
+Gegeben sei die folgende CNF-Grammatik $G$:
+
+```
+S → A B | N H | N E  
+A → N H | N E  
+B → E B | 1  
+H → A E  
+N → 0  
+E → 1
+```
+
+### 4a)
+Beschreiben Sie die Sprache $L(G)$ in formaler Mengenschreibweise.
+
+$$L(G) := \{0^n1^m|n,m ∈ N, n ≤ m\}$$
+
+### 4b)
+Leiten Sie fünf selbstgewählte Wörter $w \in \{ 0, 1 \}^\ast$ unterschiedlicher Länge mit Hilfe der Grammatik $G$ ab (Folge von 1-Schritt-Ableitungen).
+
+$$01: S → NE → 0E → 01$$
+
+$$011: S → AB → NEB → 0EB → 01B → 011$$
+
+$$00111: S → AB → NHB → NAEB → NNEEB → 0NEEB → 00EEB → 001EB → 0011B → 00111$$
+
+$$0111: S→ AB→ NEB → 0EB → 01B → 01EB → 011B → 0111$$
+
+$$001111: S → AB → NHB → NAEB → NNEEB → 0NEEB → 00EEB → 001EB → 001EEB → 0011EB → 00111B → 001111$$
+
+### 4c)
+Wie viele Ableitungsschritte wurden jeweils in 4b benötigt? Geben Sie möglichst exakt an, wie viele Ableitungsschritte (in Abhängigkeit von $n$) nötig sind, um ein Wort $w \in L(G)$ der Länge $n \in \mathbb{N}$ abzuleiten.
+
+2 → 3; 3 → 5; 5 → 9; 4 → 7; 6 → 11
+
+→ $2n - 1$
+
+### 4d)
+Lässt sich Ihre Erkenntnis aus 4c auf andere CNF-Grammatiken übertragen? Begründen Sie Ihre Antwort.
+
+Ja, da die CNF eine binäre Struktur erzwingt, was stets zu $2n-1$ Ableitungsschritten führt.
+→ Jede Regel ist entweder vom Typ `A→BC` oder `A→a`, was zu einem binären Baum führt.