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Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/06_ReguläreSprachen.md

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+# Reguläre Sprachen
+> Eine Sprache ist dann regulär, wenn der Nerode-Index endlich ist
+- Bedeutet auch:
+  - Für alle NEAs existiert eine reguläre Grammatik
+  - Für alle regulären Sprachen existiert ein NEA
+
+## NEA → reguläre Grammatik
+- **Gegebener NEA**
+  - $N=(Σ,Q,q_s,Q_a,δ)$
+- **Definierbare Grammatik**
+  - $G_N=(Σ,V,S,R)$
+  - $V=Q$
+  - $S=q_s$
+  - $R$
+    - Regel `q → x q'` für alle $q,q' ∈ Q, x ∈ Σ$ mit $q' ∈ δ(q,x)$
+      - für alle Übergänge, welche in einen anderen Zustand übergehen, wird eine Regel der Form `Ausgangszustand → Übergang Endzustand` formuliert
+    - Regel `q → ε` für alle $q ∈ Q_a$
+      - alle akzeptierenden Zustände erhalten die Regel `Zustand → ε` 
+      - Grammatik darf beendet werden ohne weitere Übergänge 
+        - "Variable einfach entfernen"
+
+
+## Normalisieren einer Grammatik
+- Alle Regeln, die mehrere Terminale und eine Variable besitzen (_bspw. V→aaaX, V→abcX_)
+  - Aufsplitten in mehrere Regeln mit je einem Terminal und einer Variable
+    - Bspw:
+      - $V → abcX$
+      - wird zu
+        - $V → aV_1^{(abcX)}$
+        - $V_1^{(abcX)} → bV_2^{(abcX)}$
+        - $V_2^{(abcX)} → cX$
+- Alle Regeln, die ≥1 Terminale besitzen und keine Variablen (_bspw. V→aab, V→acb_)
+  - Aufsplitten in mehrere Regeln mit je einem Terminal und einer Variable
+  - Hinzufügen einer Regel, die zu ε führt
+    - Bspw:
+      - $V → abc$
+      - wird zu
+        - $V → aV_1^{(abc)}$
+        - $V_1^{(abc)} → bV_2^{(abc)}$
+        - $V_2^{(abc)} → cV_3^{(abc)}$
+        - $V_1^{(abc)} → ε$
+- Für alle Regeln der Form $V→W$
+  - Ersetzen durch $V → β$ für alle Regeln $W → β$
+    - Bspw:
+      - $V → aV | cX | W$
+      - $W → bX | ε$
+      - wird zu
+      - $V → aV | cX | bX | ε$
+      - $W → bX | ε$
+
+## Reguläre Grammatik → NEA
+1. Normalisiere Grammatik
+2. erstelle NEA
+    - $Q = V$
+    - $q_s = S ∈ Q$
+    - $Q_a := \{q ∈ Q | q → ε) ∈ R\}$
+      - Alle Variablen, die einen Übergang nach ε haben, sind akzeptierte Zustände
+    - $ δ$
+      - für alle $q, q' ∈ Q$ und $x ∈ Σ$ gilt
+        - $q' ∈ δ(q,x)$ existiert Regel $q → xq'$ in R
+          - Terminale werden zu Übergängen
+          - Nicht-Terminale sind der Zielzustand
+
+### Beispiel
+![image_921.png](image_921.png)
+
+
+## Wortproblem für reguläre Sprachen
+### Der natürliche Algorithmus
+1. konstruiere NEA
+2. konstruiere Potenzmengenautomat A
+3. minimiere A und erhalte DEA
+4. überprüfe ob DEA Eingabe akzeptiert
+
+Vorteile:
+- einfache, allgemeine Lösung
+- Wiederverwendung des DEAs
+
+Nachteile:
+- Punkt 2 ist kostspielig
+  - exponentiell in Grammatikgröße
+  - insbesondere für einzelne Eingabe
+
+### NEA-basierter Algorithmus
+1. konstruiere NEA
+2. prüfe ob NEA Eingabe akzeptiert
+    - aktuellen Metazustand merken, weiterrechnen, ...
+    - ![image_922.png](image_922.png)
+
+Vorteile:
+- kein Potenzmengenautomat
+  - keine exponentielle Laufzeit
+
+Nachteile:
+- teuer für wiederholtes Wortproblem
+  - NEA Wortproblem in O(|Q|²*|S|)
+  - DEA Wortproblem in O(|S|)
+
+## Reguläre Ausdrücke
+> rekursiv definierte Zeichenkette über dem Alphabet $Σ ∪ \{(,),|,.,*\}$
+
+- ε ist regulärer (Basis-) Ausdruck
+- für jedes $x ∈ Σ$ ist x ein regulärer (Basis-) Ausdruck
+- sind α und β reguläre Ausdrücke, dann auch
+  - $(α | β)$ (α oder β)
+  - $(α * β)$ (α und β)
+  - $ (α*)$ (kleensche Hülle (beliebig oft das Zeichen))
+- Zusätzlich erlaubt:
+  - weglassen des `*`
+  - weglassen unnötiger Klammern
+    - kleensche Hülle > Konkatenation > Vereinigung (Hoch vor Punkt vor Strich)
+- Zusätzliche syntaktische Merkmale
+  - $(a)^+$: mind. 1x a
+  - $(a)^?$: ggf. 1x a
+  - $[acfw]$: $a | c | f | w$ =  a oder c oder f oder w
+  - $[^acfw]$: nicht eins von denen
+  - $[1-4]$: [1234]