# Übungsblatt 9
> Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)

## Aufgabe 1
Geben Sie für die folgende Sprachen über dem Alphabet $\Sigma = \{ a, b, c \}$ eine kontextfreie Grammatik $G_1$ an, so dass $L(G_1) = L_1$ gilt:

**$L_1 = \{ a^m b^c n \mid n, m \in \mathbb{N}, m < n + 1 \}$**

```
S → aXc
X → aXc | Xc | b
```

$L_2 = \{ a^m b^c n \mid n, m \in \mathbb{N}, m > n + 1 \}$

```
S → aaaXc 
X → aXc | aX | b
```

$L_3 = \{ a^m b^c n \mid n, m \in \mathbb{N}, m \neq n + 1 \}$

```
S → aXc | aaaYc
X → aXc | Xc | b
Y → aYc | aY | b
```

## Aufgabe 2

### 2a)
Geben Sie eine kontextfreie Grammatik $G_{arithm}$ an, welche die Sprache der vollständig geklammerten arithmetischen Ausdrücke über dem Alphabet $\Sigma = \{ 0, 1, \dots, 9, +, -, \cdot, /, (, ) \}$ erzeugt.  
Beispiel: $((23 - 42)/21) \in L(G_{arithm})$

```
S → (SOS) | Z
O → + | - | * | /
Z → OZ | O
O → 0 | 1 | ... | 9
```

### 2b)
Geben Sie eine kontextfreie Grammatik $G_{reg}$ an, welche die Sprache der vollständig geklammerten regulären Ausdrücke für reguläre Sprachen über dem Alphabet $\{ 0, 1, \dots, 9 \}$ erzeugt.

```
S → (S|S) | (S*S) | (S*) | O 
O → OZ | Z
Z → 0 | 1 | ... | 9
```

## Aufgabe 3

### 3a)
Gegeben sei die folgende kontextfreie Grammatik $G$ über dem Alphabet $\Sigma = \{ x, y, z \}$:

```
S → y S y | H  
H → x H | x | H'  
H' → H | z
```

Geben Sie eine CNF-Grammatik $G'$ an, so dass $L(G') = L(G)$ gilt. Geben Sie geeignete Zwischenschritte an und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

```
G'(0):
S → S'
S' → yS'y | H
H → xH | x | H'
H' → H | z

G'(1):
S → S'
S' → yS'y | H
H → xH | x | H'
H' → H | z

G'(2):
S → yS'y | xH | x | z
S' → yS'y | xH | x |z
H → xH | x | z

G'(3):
S → XS'' | XH | x | z
S'' → S'Y
S' → YS'' | XH | x | z
H → XH | x | z
Y → y
X → x
```


### 3b)
Geben Sie für die Sprache $L = \{ v \cdot a^n b^n \mid v \in \{ a, b, c \}^\ast, n \in \mathbb{N} \}$ eine CNF-Grammatik $G$ an, so dass $L(G) = L$ gilt.

$$S → VX | V_aX_1 | V_aV_b$$
$$V → V_aV | V_bV | V_cV | a | b | c$$
$$X → V_aX_1 | V_aV_b$$
$$X_1 → XV_b$$
$$V_a → a$$
$$V_b → b$$
$$V_c → c$$



## Aufgabe 4

Gegeben sei die folgende CNF-Grammatik $G$:

```
S → A B | N H | N E  
A → N H | N E  
B → E B | 1  
H → A E  
N → 0  
E → 1
```

### 4a)
Beschreiben Sie die Sprache $L(G)$ in formaler Mengenschreibweise.

$$L(G) := \{0^n1^m|n,m ∈ N, n ≤ m\}$$

### 4b)
Leiten Sie fünf selbstgewählte Wörter $w \in \{ 0, 1 \}^\ast$ unterschiedlicher Länge mit Hilfe der Grammatik $G$ ab (Folge von 1-Schritt-Ableitungen).

$$01: S → NE → 0E → 01$$

$$011: S → AB → NEB → 0EB → 01B → 011$$

$$00111: S → AB → NHB → NAEB → NNEEB → 0NEEB → 00EEB → 001EB → 0011B → 00111$$

$$0111: S→ AB→ NEB → 0EB → 01B → 01EB → 011B → 0111$$

$$001111: S → AB → NHB → NAEB → NNEEB → 0NEEB → 00EEB → 001EB → 001EEB → 0011EB → 00111B → 001111$$

### 4c)
Wie viele Ableitungsschritte wurden jeweils in 4b benötigt? Geben Sie möglichst exakt an, wie viele Ableitungsschritte (in Abhängigkeit von $n$) nötig sind, um ein Wort $w \in L(G)$ der Länge $n \in \mathbb{N}$ abzuleiten.

2 → 3; 3 → 5; 5 → 9; 4 → 7; 6 → 11

→ $2n - 1$

### 4d)
Lässt sich Ihre Erkenntnis aus 4c auf andere CNF-Grammatiken übertragen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ja, da die CNF eine binäre Struktur erzwingt, was stets zu $2n-1$ Ableitungsschritten führt.
→ Jede Regel ist entweder vom Typ `A→BC` oder `A→a`, was zu einem binären Baum führt.