# Übungsblatt 10
> Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)

## Aufgabe 1

### 1a)
Gegeben sei folgende CNF-Grammatik $G_1$:

```
G_1:  
S → AB | CD  
C → AB  
D → BA  
A → 0  
B → 1
```

Nutzen Sie den CYK-Algorithmus, um zu entscheiden, ob das Wort $w = 0110$ zur Sprache $L(G_1)$ gehört.  
Legen Sie dazu eine Tabelle analog zu dem Beispiel aus der Vorlesung (Kapitel 7, Folie 16) an und füllen Sie diese entsprechend aus.

| $Var(w)_{[i,j]}(G_1)$ | 1       | 2       | 3  | 4       |
|-----------------------|---------|---------|----|---------|
| 1                     | $\{A\}$ | {S,C}   | {} | $\{S\}$ |
| 2                     | -       | $\{B\}$ | {} | {}      |
| 3                     | -       | -       |    | $\{D\}$ |
| 4                     | -       | -       | -  | $\{A\}$ |

→ $w ∈ L(G_1)$

### 1b)
Gegeben sei folgende CNF-Grammatik $G_2$:

```
G_2:  
S → AB  
A → AA | AC | a  
B → BC | b  
C → CC | a | c
```

Nutzen Sie analog zu Aufgabe 1a den CYK-Algorithmus, um zu entscheiden, ob das Wort $w = acb$ zur Sprache $L(G_2)$ gehört.

| $Var(w)_{[i,j]}(G_2)$ | 1         | 2         | 3       |
|-----------------------|-----------|-----------|---------|
| 1                     | $\{A,C\}$ | $\{A,C\}$ | $\{S\}$ |
| 2                     | -         | $\{C\}$   | {}      |
| 3                     | -         | -         | $\{B\}$ |

→ $w ∈ L(G_1)$

## Aufgabe 2

Gegeben sei folgende CNF-Grammatik $G$:

```
G:  
S → AB  
A → AA | AC | a  
B → BC | b  
C → CC | a | c
```

### 2a)
Zeichnen Sie zwei verschiedene Syntaxbäume für das Wort $w = acacaaabaca \in L(G)$.

![image_961.png](image_961.png)

### 2b)
Finden Sie ein Wort $w \in L(G)$, zu dem ein Ableitungsbaum mit möglichst wenig Knoten existiert, und zeichnen Sie den zugehörigen Ableitungsbaum.

$w = ab$

![image_962.png](image_962.png)

## Aufgabe 3

Betrachten Sie die folgenden Grammatiken $G_1$ und $G_2$. Gibt es zu der jeweiligen Grammatik $G_i$ ($i \in \{1, 2\}$) ein Wort $w \in L(G_i)$ mit mehr als einem Syntaxbaum? Begründen Sie Ihre Antwort.

### 3a)

```
G_1:  
S → 0 1 | 0 S 1
```

Nein, es gibt kein Wort mit mehreren Syntaxbäumen, da die Regeln jeden Schritt genau vorgeben, da
wir nur eine Regel mit Rekursion haben, ist keine Mehrdeutigkeit möglich.

### 3b)

```
G_2:  
S → 0 B | 1 A  
A → 0 | 0 S | 1 A A  
B → 1 | 1 S | 0 B B
```

Nein, es gibt keine Möglichkeit mehrere Syntaxbäume zu bilden, da zwar eine Rekursion möglich ist durch
$B → 0BB$ und $A→1AA$, jedoch durch die 1 und 0 vor den Variablen kein alternativer Pfad gebildet werden kann.

## Aufgabe 4

Für eine Sprache $L$ über einem Alphabet $\Sigma$ definieren wir

$$
L^R := \{ w^R \mid w \in L \}
$$

Dabei gilt $w^R = w_n w_{n-1} \dots w_1$ für $w = w_1 w_2 \dots w_n \in L$ mit $w_i \in \Sigma$.

Beschreiben Sie ein algorithmisches Verfahren, das aus einer kontextfreien Grammatik $G$ eine kontextfreie Grammatik $G^R$ erzeugt, so dass $L(G^R) = L(G)^R$ gilt. Begründen Sie die Korrektheit Ihres Verfahrens.

Gegeben: $G=(Σ, V, S, R)$
- S, V und Σ bleiben gleich
- Für jede Regel $A → X_1X_2...X_n$
  - Regel $A → X_n, X_{n-1}, ..., X_1$ hinzufügen

Da kontextfreie Grammatiken keine Einschränkungen hinsichtlich der Position von (Nicht-)Terminalen in Regeln haben,
bleibt die resultierende Grammatik $G^R$ kontextfrei.
Die Korrektheit folgt daraus, dass jede Regel in $G$ eine Regel in $G^R$ erzeugt, die das gleiche Wort in umgekehrter Reihenfolge generiert.

## Aufgabe 5

Für eine Sprache $L$ über dem Alphabet $\Sigma = \{ 0, 1 \}$ definieren wir

$$
L^{\text{prfx}} := \{ x \in \Sigma^\ast \mid \exists y \in \Sigma^\ast : x \cdot y \in L \}
$$

Beschreiben Sie ein algorithmisches Verfahren, das aus einer regulären Grammatik $G$ eine reguläre Grammatik $G_{\text{prfx}}$ erzeugt, so dass $L(G_{\text{prfx}}) = L(G)_{\text{prfx}}$ gilt. Begründen Sie die Korrektheit Ihres Verfahrens.

Gegeben: $G=(Σ, V, S, R)$
- Wandle G in einen NEA N um
- Markiere alle Zustände als akzeptierend → $N_{prfx}$
  - Präfix kann beliebig lang sein und muss kein nachfolgendes Symbol haben
- Wandle $N_{prfx}$ in eine rechtslineare Grammatik $G_{prfx}$ um

- Oder für jede Nichtterminale die Regel $A → ε$ hinzufügen