# Grenzen & Größen endlicher Automaten
## Nerode-Index einer Sprache
- Sei $L=\{w ∈ \{x,y,z\}^*\}\space | \space \#_z(w) ∈ \{2,3\}\}$
- betrachte die Wörter aus $\{x, y, z\}^*$
  - Gruppiere sie hinsichtlich des "Grad der Zugehörigkeit" zu $L$
    - ![image_780.png](image_780.png)
- Beobachtung:
  - zwei Worte $u ∈ L$ und $v \not\in L$ sind sicherlich nicht sehr ähnlich
  - zwei Worte $u,v ∈ L$ _können_ ähnlich sein 
    - ähnlich: $zz$ und $yzxxzy$
    - nicht ähnlich: $zz$ und $zzz$
  - zwei Worte $u,v \not\in L$ _können_ ähnlich sein
    - ähnlich: $ ε$ und $xxy$
    - nicht ähnlich: $ ε$ und $yzxxxy$

- **$u,v ∈ Σ^*$ sind ähnlich bezüglich $L$, wenn:**
  - durch anhängigen des gleichen, beliebigen Wortes
    - in beiden Fällen ein Wort aus $L$ entsteht
    - in beiden Fällen ein Wort aus $Σ \backslash L$ entsteht

### Rechtsäquivalenz
- gegebene Sprache $L$ über Alphabet Σ
- $u,v ∈ Σ^*$ heißen rechtsäquivalent bezüglich L, wenn
  - $∀s ∈ Σ^*: u*s ∈ L ↔ v*s ∈ L$
- wir schreiben auch: $(u,v) ∈ R_L$ oder $u \space R_L \space v$

### Nerode-Klassen und -Index
- gegebene Sprache $L$ über Alphabet Σ und Wort $u ∈ Σ^*$
- **Nerode-Klasse $N(u)$**: Menge der zu $u$ rechtsäquivalenten Wörter:
  - $N(u) := \{v ∈ Σ^* \space | \space (u,v) ∈ R_L\}$
- **Nerode-Index** von L: Anzahl Nerode-Klassen

### Beispiel
- ist $v ∈ N(u)$ so gilt $N(v)=N(u)$
- beliebiges $u ∈ N$ heißt _Repräsentant_ der Nerode-Klasse $N$

- Wie lauten die Nerode-Klassen von der Sprache $L_1 = \{w ∈ \{x,y,z\}^* \space | \space \#_Z(w) ∈ \{2,3\}\}$?
  - ![image_781.png](image_781.png)
- Wie viele Nerode-Klassen hat $L_2=\{0^n*1^n \space | \space n ∈ N_0\}$
  - ∞
  - bspw. $N_i=N(0^i)$ für $i ∈ N_0$

## Eigenschaften von Nerode-Klassen
### Nützliche Eigenschaften
#### Alles-oder-nichts
> Sei $L$ eine Sprache und $N$ eine Nerode Klasse von $L$.
> Dann gilt entweder $N ⊆ L$ oder $N \not ⊆ L := Σ^* \backslash L$

**Beweis:**
- wähle beliebiges, festes $u ∈ N$
- für jedes $v ∈ N$ gilt: $u$ und $v$ sind rechtsäquivalent
- insbesondere: $u = u * ε ∈ L ↔ v * ε = v ∈ L$
- also entweder sind _alle_ solche Wörter $v$ aus $L$ (wenn $u ∈ L$)
- oder es sind alle solche Wörter $v$ nicht aus $L$ (wenn $u \not ∈ L$)

#### Mitgegangen-Mitgefangen
> Sei $L$ eine Sprache und $u,v ∈ Σ^*$ Wörter aus der gleichen Nerode-Klasse. 
> Dann gilt für alle $s ∈ Σ^*$: $N(u*s)=N(v*s)$

**Beweis:**
- zu zeigen: $(u*s, v*s) ∈ R_{L(A)}$ 
  - d.h. $u*s$ und $v*s$ sind [rechtsäquivalent](#rechts-quivalenz)
- sei dazu $w ∈ Σ^*$ beliebig, dann gilt:
  - ![image_782.png](image_782.png)


#### Gemeinsame Reise
> Sei $A = (Σ, Q, q_s, Q_A, δ)$ ein DEA.
> Betrachte zwei Worte $u,v ∈ Σ^*$ die $A$ in den gleichen Zustand überführen.
> Dann sind $u$ und $v$ rechtsäquivalent bzgl. $L(A)$

![image_783.png](image_783.png)



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