# Formale Grammatiken
## Grundbegriffe
### Formale Grammatik
- 4-Tupel
  - $G=(Σ,V,S,R)$
    - $Σ$: Alphabet
    - $V$: endliche Menge Variablen $V ∩ Σ = \not O$
    - $S ∈ V$: Startvariablen
    - $R$: endliche Menge Regeln
      - Form: $α → β$, $α, β ∈ (Σ ∪ V)^*$ mit $α \not= ε$

#### Beispielgrammatik
- $G = (\{a,b\},\{S\},S,\{S→aSb, S→ε\})$
  - Alphabet $a,b$
  - Variable S
  - Startvariable S 
  - zwei (Ersetzungs-) Regeln:
    - rekursiv
    - leeres Wort

#### Funktion einer formalen Grammatik
- Bilden von Wörtern durch Ableitungen
- starte mit dem Startsymbol $S$
- solange noch Variablen vorkommen oder man Lust hat:
  - wende eine Regel $α → β$ an, um $α$ durch $β$ zu ersetzen
- das Ergebnis ist eine Zeichenkette $w ∈ Σ^*$
  - ein aus $G$ abgeleitetes Wort

## Komplexität von Grammatiken
- Je mehr Variablen links UND rechts stehen, desto schwerer wird es sie zu verstehen
  - Dadurch wird auch das Wortproblem schwerer


## Übersicht Grammatiken
![image_920.png](image_920.png)

| Typ                       | Erlaubte Regeln                                                | Was kann man damit beschreiben?                 | Beispielregel                             | Beispielsprache              |
|---------------------------|----------------------------------------------------------------|-------------------------------------------------|-------------------------------------------|------------------------------|
| **Regulär (RG)**          | A → aB<br>A → a                                                | Nur ganz einfache Muster, **kein Zählen**       | A → aB<br>B → b                           | aⁿb (z.B. ab, aab, aaab)     |
| **Kontextfrei (CFG)**     | A → γ (γ ist beliebige Folge aus Terminals und Nichtterminals) | **Einfache Klammerungen und Zählen**            | S → aSb<br>S → ε                          | aⁿbⁿ (z.B. ab, aabb, aaabbb) |
| **Kontextsensitiv (CSG)** | αXβ → αwβ (w darf nicht kürzer sein als X)                     | **Mehr Kontextabhängigkeit, z.B. 3-mal Zählen** | aXb → abb (wenn X zwischen a und b steht) | aⁿbⁿcⁿ (z.B. abc, aabbcc)    |

### Erklärungen:
- **Regulär**: Nur ganz einfache Strukturen – keine verschachtelten oder abhängigen Teile.
- **Kontextfrei**: Kann einfache Paare wie aⁿbⁿ beschreiben (z.B. gleich viele a und b).
- **Kontextsensitiv**: Kann komplexe Abhängigkeiten darstellen – z.B. gleich viele a, b und c.

## Reguläre Grammatiken
- Einfachste Grammatiken

### (Rechts-)reguläre Grammatiken
- für alle $ α → β$ aus $R$ gilt
  - $ α ∈ V$
    - links steht genau eine Variable
  - $ β = u*v$ mit $u ∈ Σ^*, v ∈ V ∪ \{ε\}$
    - rechts steht wenn überhaupt, dann nur genau eine Variable am Ende
- Worte wachsen _von links nach rechts_

## Kontextfreie Grammatiken
- Hauptsache α ist ein Teil der Variablen

## Kontextsensitive Grammatiken
- für alle $ α → β$ aus $R$ AUßER $S→ε\}$ gilt:
  - $ α = u * X * v$ mit $u,v ∈(Σ ∪ V)^*$ und $X ∈ V$
    - Symbol nur ersetzen, wenn bestimmte andere Symbole davor und danach stehen
      - Symbole davor und danach sind der Kontext
  - $ β = u*w*v$ mit $w ∈ (Σ ∪ V)^+$
    - Beim Ersetzen muss das neue Stück mindestens so lang sein wie das alte, also das Wort darf nicht kürzer werden.
  - $S$ kommt nicht in $ β$ vor
    - S steht nie auf der rechten Seite

## Monotone Grammatiken
- Wenn $|β| ≥ |α|$
- Keine Grammatik, die das leere Wort erzeugt ist monoton