update

Writerside/in.tree

@@ -126,6 +126,8 @@
                 <toc-element topic="ti_hausaufgabe3.md"/>
                 <toc-element topic="ti_hausaufgabe4.md"/>
                 <toc-element topic="ti_hausaufgabe5.md"/>
+                <toc-element topic="ti_hausaufgabe6.md"/>
+
             </toc-element>
             <toc-element topic="01Einleitung.md"/>
             <toc-element topic="02_GrundlagenFormaleSprachen.md"/>

Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausaufgabe6.md

@@ -0,0 +1,146 @@
+# Übungsblatt 6
+> Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)
+
+## Übung 1
+Betrachten Sie folgendes algorithmisches Problem:
+
+**Bestimmung des Nerode-Index**
+- **Eingabe**: ein (vollständiger) NEA $N$
+- **Ausgabe**: der Nerode-Index der Sprache $L(N)$
+
+Beschreiben Sie eine algorithmische Lösung dieses Problems (stichpunktartig oder als Pseudocode).
+Nutzen Sie dazu das in der Vorlesung gesammelte Wissen und begründen Sie damit die Durchführbarkeit und Korrektheit Ihrer Lösung.
+
+**Lösung:**
+
+- Potenzautomat bilden
+- DEA minimieren
+- Zustände zählen
+
+## Übung 2
+Betrachten Sie den Automaten $A$ aus Abbildung 1 über dem Alphabet $\Sigma = \{0,1\}$.
+![image_864.png](image_864.png)
+
+### 2(a)
+Wenden Sie das in den Vorlesungsfolien beschriebene Verfahren zur Minimierung des Automaten $A$ an, um die Zustands-Äquivalenzklassen des Automaten $A$ zu bestimmen.
+Stellen Sie Ihr Vorgehen nachvollziehbar dar (orientieren Sie sich dazu an dem finalen Beispiel des Foliensatzes 4).
+
+- Äquivalenzklassen finden
+  - {a,b,c,d,h,f}, {e,g}
+    - Zeuge: ε
+  - {a,c,d,f}, {b,h}, {e,g}
+    - Zeuge: 1
+  - {a,d,c}, {f}, {b,h}, {e,g}
+    - Zeuge: 01
+  - {a,c}, {d}, {f}, {b,h}, {e,g}
+    - Zeuge: 11
+  - {a,c}, {d}, {f}, {b}, {h}, {e,g}
+    - Zeuge: 001
+
+- Zustandsübergänge
+  - $≡_{a,c}$
+    - 1 → $≡_{d}$
+    - 0 → $≡_{b}$
+  - $≡_{d}$
+    - 0,1 → $≡_{b}$
+  - $≡_{b}$
+    - 0 → $≡_{a,c}$
+    - 1 → $≡_{e,g}$
+  - $≡_{e,g}$
+    - 0 → $≡_{f}$
+    - 1 → $≡_{h}$
+  - $≡_{h}$
+      - 0 → $≡_{f}$
+      - 1 → $≡_{e,g}$
+  - $≡_{f}$
+      - 0, 1 → $≡_{f}$
+
+### 2(b)
+Konstruieren Sie den Quotientenautomaten zu $A$ mit Hilfe der von Ihnen bestimmten Zustands-Äquivalenzklassen (in der Graphdarstellung).
+
+```plantuml
+@startuml
+scale 0.50
+
+left to right direction
+skinparam dpi 150
+
+skinparam state {
+    BackgroundColor #FFFACD
+    BorderColor black
+    FontName Helvetica
+    RoundCorner 30
+    Shadowing false
+    LineThickness 0
+}
+
+
+state eg##[bold]
+
+[*] --> ac
+ac --> d: 1 
+ac --> b: 0
+d --> b: 0,1
+b --> ac: 0
+b --> eg: 1
+eg --> h: 1
+eg --> f: 0
+h --> eg: 1
+h --> f: 0
+f --> f: 0,1
+
+
+@enduml
+```
+
+### 2(c)
+Welche Sprache akzeptiert der Automat $A$?
+
+
+
+## Übung 3
+Betrachten Sie die beiden deterministischen endlichen Automaten $A_1$ und $A_2$ aus Abbildung 2.
+Lesen Sie Kapitel 2.3.3 über das Äquivalenzproblem für endliche Automaten aus dem Skript.
+Nutzen Sie das dort beschriebene Vorgehen, um nachvollziehbar zu überprüfen, ob die Automaten $A_1$ und $A_2$ die gleiche Sprache akzeptieren.
+
+![image_865.png](image_865.png)
+
+
+
+## Übung 4
+### 4(a)
+Geben Sie die folgende Grammatik $G_1$ in formaler Tupel-Darstellung an.
+Leiten Sie außerdem 5 Wörter der Sprache $L(G_1)$ ab und beschreiben Sie anschließend $L(G_1)$ in formaler Mengenschreibweise.
+
+Grammatik $G_1$:
+- $S \Rightarrow aSa\ |\ bSb\ |\ X$
+- $X \Rightarrow 0\ |\ 1$
+
+### 4(b)
+Geben Sie die folgende Grammatik $G_2$ in formaler Tupel-Darstellung an.
+Leiten Sie außerdem 5 Wörter der Sprache $L(G_2)$ ab und beschreiben Sie anschließend $L(G_2)$ in formaler Mengenschreibweise.
+
+Grammatik $G_2$:
+- $S \Rightarrow A00A$
+- $A \Rightarrow 0A\ |\ 1A\ |\ 0\ |\ 1$
+
+### 4(c)
+Geben Sie alle möglichen Ableitungen mit Regeln aus der Grammatik $G_2$ für das Wort $10001$ an.
+
+
+## Übung 5
+Betrachten Sie folgende Grammatik $G$:
+- $S \Rightarrow x\ |\ yS$
+- $xy \Rightarrow yx$
+- $yx \Rightarrow xy$
+
+### 5(a)
+Können Sie mit $G$ das Wort $xxy$ ableiten?
+Können Sie mit $G$ das Wort $xyy$ ableiten?
+Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.
+
+### 5(b)
+Beschreiben Sie die von $G$ erzeugte Sprache in formaler Mengenschreibweise.
+
+### 5(c)
+Gibt es eine Grammatik $G'$ mit $L(G') = L(G)$, sodass $G'$ weniger als vier Regeln hat?