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 ![image_783.png](image_783.png)
 
 
+## Nerode Klassen als Zustände
+> Nerode Klassen eignen sich perfekt als DEA-Zustände
+
+### Konstruktionsidee Beispiel
+![image_819.png](image_819.png)
+![image_820.png](image_820.png)
+
+### Formale Konstruktion
+Sei $L ⊆ Σ^*$ eine Sprache mit endlichem Index $m ∈ \mathbb{N}$.
+Seien $N_1, N_2, ..., N_m$ die Nerode-Klassen von $L$.
+Dann definieren wir den DEA $A_L =(Σ, Q, q_s, Q_a, δ)$:
+- $Q :=\{N_1, N_2, ..., N_m\}$
+- $q_s:= N(ε)$
+- $Q_a :=\{N_i\space|\space N_i ⊆ L\}$
+- für alle $i ∈ \{1,2,...,m\}$ sei $δ(N_i,x):=N(w*x)$...
+  - für ein _beliebiges_ $w ∈ N_i$
 
 ## Der Satz von Myhill-Nerode
+> Zu einer Sprache $L$ gibt es genau dann einen DEA $A = (Σ, Q, q_s, Q_A, δ)$ mit
+> $L(A) = L$, wenn $L$ endlichen Index hat.
+
+### Beweis (Richtung →) {id="beweis-richtung_1"}
+- Sei $A$ ein DEA mit $L(A)=L$
+- Wörter, die den gleichen Zustand erreichen
+  - gehören zur gleichen Nerode Klasse
+- Wenn man ein beliebiges Wort betrachtet endet man in einer Nerode-Klasse
+- **jede Nerode-Klasse entspricht einer der endlich vielen $N_q$**
+
+### Beweis (Richtung ←)
+- Seien $N_1,N_2,...,N_m$ endlich viele Nerode-Klassen
+- ![image_821.png](image_821.png)
+- **$A$ ist ein DEA der die Sprache $L$ akzeptiert**
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+
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 ## Reaping the Fruits!
+### Anwendung 1: Minimale endliche Automaten
+- Weniger Zustände als Nerode-Klassen gibt es nicht
+- > Ein DEA $A$ heißt minimal, wenn jeder DEA, der $L(A)$ akzeptiert, mindestens so viele Zustände wie $A$ hat.
+
+### Anwendung 2: Nichtexistenz von DEAs
+- gegebene Sprache $L$
+  - $L$ hat unendlich viele Nerode-Klassen
+- > Sei $L$ eine Sprache mit Index $i ∈ \mathbb{N}$. Jeder minimale DEA für $L$ hat $i$ Zustände.
+
+#### Zu $L ⊆ Σ^*$ gibt es keinen DEA
+- definiere _unendliche_ Wortmenge $X ⊆ Σ^*$
+- zeige: keine zwei Worte sind rechtsäquivalent
+  - wähle $u,v ∈ X$ mit $u \not = v$ beliebig
+  - finde ein $w ∈ Σ^*$ mit $u*w ∈ L$ und $v * w \not ∈ L$
+- dann hat $L$ Index $i ≥ |X| = ∞$ und hat folglich keinen DEA
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 ## Minimierungsalgorithmus