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+# Übungsblatt 4
+> Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)
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+## Übung 1
+Betrachten Sie den Automaten $A$ aus Abbildung 1 über dem Alphabet $\Sigma = \{ 0, 1 \}$.
+![image_822.png](image_822.png)
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+### 1(a)
+Gibt es einen endlichen Automaten mit 9 Zuständen, der die Sprache $L(A)$ akzeptiert? Begründen Sie Ihre Antwort. 
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+ja, da man bspw. von `d` aus weitere Zustände erstellen könnte, auf die man mit `1` kommt und von dort auf dann auf `g` verweist mit `0`
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+### 1(b)
+Gibt es einen endlichen Automaten mit 3 Zuständen, der die Sprache $L(A)$ akzeptiert? Begründen Sie Ihre Antwort. 
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+Nein, da der Automat 5 Nerode-Klassen hat.
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+### 1(c)
+Bestimmen Sie für jeden Zustand $q$ ($q \in \{ a, b, c, d, e, f, g \}$) von Automat $A$ die Sprache (in formaler 
+Mengenschreibweise), die $A$ akzeptieren würde, wenn $q$ der Startzustand von $A$ wäre. 
+
+- $L_a :=\{00*1^n, n ∈ \mathbb{N}_0 υ 1 *0^m*1^i, m ∈ \mathbb{N}_0, i ∈ \mathbb{N}\}$
+- $L_b :=\{0^n*1^m \space | \space n ∈ \mathbb{N}_0, m ∈ \mathbb{N}\}$
+- $L_c :=\{1^n \space|\space n ∈ \mathbb{N}_0\}$
+- $L_d :=\{1^n \space|\space n ∈ \mathbb{N}_0\}$
+- $L_e :=\{0*1^n \space|\space n ∈ \mathbb{N}_0 \}$
+- f, g: Müllzustand - von hier aus wird die Sprache nicht mehr akzeptiert
+
+### 1(d)
+Bestimmen Sie alle Nerode-Klassen und den Nerode-Index der Sprache $L(A)$ und begründen Sie Ihre Antwort. 
+- $N_0 = N(ε) = \{\w ∈{0,1\}^*\space|\space w = ε\}$
+- $N_1 = N(1) = \{\w ∈{0,1\}^*\space|\space w = 1*0^n, n ∈ \mathbb{N}_0\}$
+- $N_2 = N(0) = \{\w ∈{0,1\}^*\space|\space w = 0\}$
+- $N_3 = N(00\spaceu\space11) = \{\w ∈{0,1\}^*\space|\space w = 1*0^n*1^m, n ∈ \mathbb{N}_0, m ∈ \mathbb{N}\ \space u \space w ∈ \{0,1\}^*\space|\space w=0*0*1^n, n ∈ \mathbb{N}_0\}$
+- $N_4 =$ Müllzustand 
+
+
+
+### 1(e)
+Geben Sie den Nerode-Automaten der Sprache $L(A)$ an (Graphdarstellung oder formale Tuppeldarstellung, Ihre Wahl). 
+
+```plantuml
+@startuml
+scale 0.50
+
+left to right direction
+skinparam dpi 150
+
+skinparam state {
+    BackgroundColor #FFFACD
+    BorderColor black
+    FontName Helvetica
+    RoundCorner 30
+    Shadowing false
+    LineThickness 0
+}
+
+
+state c##[bold]
+
+[*] --> a
+a --> b: 1
+a --> e: 0
+b --> b: 0
+b --> c: 1
+c --> c: 1
+e --> c: 0
+e --> f: 1
+c --> f: 0
+f --> f: 0,1
+
+
+
+@enduml
+```
+
+## Übung 2
+Betrachten Sie die folgenden Sprachen:
+- $L_1 = \{ 111 \cdot s \mid s \in \{ 0,1,2,4 \}^* \}$
+- $L_2 = \{ s \cdot xx \mid s \in \{ x,y,z \}^* \}$
+- $L_3 = \{ 0^n 1^0 2^n \mid n \in \mathbb{N} \}$
+- $L_4 = \{ x^n y^z n^m \mid n,m \in \mathbb{N} \}$
+
+### 2(a)
+Welche der angegebenen Sprachen haben einen Nerode-Index größer oder gleich vier? Begründen Sie für die von Ihnen 
+ausgewählten Sprachen Ihre Antwort. 
+
+- $L_1$ - Nerode-Index=4
+  - leere Menge, 3 weitere für jede eins & einen Müllzustand in den ein akzeptiertes Wort nicht mehr zu erreichen ist, da es z.B. mit einer 0 anfängt
+- $L_2$ - Nerode-Index=3
+  - leere Menge&Wörter ohne x/xx am Ende, Wörter die mit x enden, Wörter die mit xx enden (akzeptierter Zustand)
+- $L_3$ - Nerode-Index=∞
+  - um n = n = n zu unterscheiden braucht man unendlich Nerode-Klassen
+- $L_4$ - Nerode Index ∞
+  - min so viele z+1 wie x 
+  - gleiches wie bei $L_3$, es kommt auf die Anzahl x an & es gibt ∞ Optionen
+
+
+### 2(b)
+Welche der angegebenen Sprachen haben einen endlichen Nerode-Index? Begründen Sie für die von Ihnen ausgewählten 
+Sprachen Ihre Antwort. 
+
+Wie in a schon beschrieben haben $L_1$ und $L_2$ einen endlichen Nerode-Index. 
+Bei $L_1$ muss der Präfix untersucht werden und der Rest ist egal, somit ist dies mit 4 Zuständen möglich
+Bei $L_2$ muss der Suffix untersucht werden, somit ist dies mit 3 Zuständen möglich
+
+### 2(c)
+Für welche der angegebenen Sprachen existiert kein endlicher Automat, der die Sprache akzeptiert? Begründen Sie für die
+von Ihnen ausgewählten Sprachen Ihre Antwort. 
+
+Wie in a beschrieben existiert bei $L_3$ und $L_4$ kein endlicher Automat, da beide einen unendlichen
+Nerode-Index haben. Beide Automaten benötigen ∞ Zustände um n zu speichern
+
+## Übung 3
+
+Betrachten Sie die folgenden Sprachen über dem Alphabet $\Sigma = \{ 0, 1, 2 \}$:
+
+- $L_1 = \{ 0^n 1^m \mid n,m \in \mathbb{N} \} \cup \{ 0^n 2^m \mid n,m \in \mathbb{N} \}$
+- $L_2 = \{ 0^n 1^m \mid n,m \in \mathbb{N} \} \cup \{ 2^n 1^m \mid n,m \in \mathbb{N} \}$
+- $L_3 = \{ s \in \Sigma^* \mid \exists s_1 \in \Sigma^* : s = 2 \cdot s_1 \wedge \forall s_2 \in \Sigma^* : s \neq s_2 \cdot 00 \}$
+
+Für welche der angegebenen Sprachen gilt, dass **jeder** endliche Automat, der die Sprache akzeptiert, **mehr als einen 
+akzeptierenden Zustand** hat? Begründen Sie Ihre Antwort für jede der drei Sprachen. 
+
+- $L_1$
+  - Es gibt mehr als 2 akzeptierende Zustände, da ein akzeptiertes Wort immer mit beliebig vielen 0 anfängt, aber dann entweder mit beliebig vielen 1 oder 2 endet, wodurch 2 akzeptierte Zustände benötigt werden.
+- $L_2$
+  - Ein akzeptierter Zustand reicht, da ein Wort zwar unterschiedlich anfängt, aber am Ende immer mit einer beliebigen Zahl 1 aufhört, wodurch alle vorherigen Schritte in einem Zustand zusammengeführt werden können.
+- $L_3$
+  - Es sind mehr als ein akzeptierter Zustand benötigt, da man einen Zustand benötigt für den Fall, dass das Wort mit nur einer 0 endet und einen für den Fall, dass das Wort mit keiner 0 endet.
+
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+## Übung 4
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+Benutzen Sie das Kochrezept aus der Vorlesung, um zu zeigen, dass die Sprache $L = \{ a^n b^n c^n \mid n \in \mathbb{N} 
+\}$ von **keinem endlichen Automaten** akzeptiert wird.
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+- $L = \{a^n,b^n,c^n\space|\space n ∈ \mathbb{N}\}$
+- definiere $X=\{a^n\space|\space n ∈ \mathbb{N}\}$
+- seien $u = a^i, v=a^j ∈ X mit i \not= j$
+- dann gilt für $w = b^i*c^i$:
+  - $u*w=a^i*b^i*c^i ∈ L$
+  - $u*v=a^j*b^j*c^j \not ∈ L$
+- → $L-Index ≥ |X| = ∞$, sodass kein DEA $L$ akzeptiert