update

Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/Hausaufgaben/ti_hausufgabe3.md

@@ -11,7 +11,11 @@ Wie viele Berechnungspfade gibt $e$, die das Wort `1111` lesen? Wie viele Berech
 Berechnungspfade (deterministisch) zu simulieren? Begründen Sie nachvollziehbar,
 wie Sie auf Ihre Antworten gekommen sind.
 
+**Antwort:**
 
+Da wir bei jedem Übergang in `a` bleiben, gibt es nur einen möglichen Berechnungspfad für das Wort `1111`
+
+Die Anzahl der deterministischen Berechnungsschritte liegt bei 4, da der Pfad 4 Eingaben verarbeitet.
 
 ### 1(b)
 Konstruieren Sie den Potenzautomaten $A_N$ zu $N$. Geben Sie bei der Konstruktion
@@ -170,6 +174,7 @@ e --> e : 1
 Gibt es einen deterministischen endlichen Automaten mit weniger Zuständen als
 $A_N$, der $L(N)$ akzeptiert? Begründen Sie Ihre Antwort.
 
+**Antwort:**
 
 Um $A_N$ zu minimieren, könnte man nicht erreichbare Zustände, in diesem Fall
 {{b},{c},{d},{ε}}, entfernen.
@@ -177,39 +182,76 @@ Ansonsten ist der Automat bereits in minimaler Form, da die Zustände sich alle
 Erreichbarkeit und/oder ihrem Umgang mit Eingaben unterscheiden.
 
 
+
+
 ## Übung 2
 Betrachten Sie den nichtdeterministischen Automaten N aus Abbildung 2 über dem
 Alphabet $Σ = \{ x, y, z \}^*$. Weiterhin seien die Zeichenketten $s_1 = zzx$, $s_2 = xxyz$,
 $s_3 = yyy$, $s_4 = xxz$ und $s_5 = xxzxxzxxzxxz$ definiert.
 
-![image_785.png](image_785.png)
+![image_792.png](image_792.png)
-Automat $N$ für Worte aus $\{x,y,z\}^*$, die kein $y$ enthalten und die Zeichenkette $xxy$ beinhalten
 
 ### 2(a)
 Geben Sie für jedes $s_i (i ∈ \{ 1, 2, . . . , 5 \})$ an, ob es eine Berechnung (Bearbeitungspfad) für den Automaten N gibt, welche die Zeichenkette si vollständig liest (also
 alle Zeichen abarbeitet bevor entschieden wird, ob $s_i$ akzeptiert wird oder nicht.)
 
+**Antwort:**
+
+- $s_1$: ja
+- $s_2$: nein
+- $s_3$: ja
+- $s_4$: ja
+- $s_5$: ja
+
 
 ### 2(b)
 Geben Sie für jedes $s_i (i ∈ \{ 1, 2, . . . , 5 \})$ die Menge aller Zustände an, die $N$ durch
 die Zeichenkette si erreichen kann
 
+**Antwort:**
+
+- $s_1$: {a,b}
+- $s_2$: {}
+- $s_3$: {$e$}
+- $s_4$: {a,d}
+- $s_5$: {a,d}
 
 ### 2(c)
 Wie viele Berechnungspfade gibt es, die das Wort $s_5$ vollständig lesen? Begründen
 Sie nachvollziehbar, wie Sie auf Ihre Antwort gekommen sind.
 
+**Antwort:**
+
+- $s_5 = xxzxxzxxzxxz = (xxz)^4$
+- Anzahl Pfade:
+  - 4x (xxz) in `a` → nicht akzeptierend
+  - 3x (xxz) in `a` → akzeptierend
+  - 2x (xxz) in `a` → akzeptierend
+  - 1x (xxz) in `a` → akzeptierend
+  - 0x (xxz) in `a` → akzeptierend
+- **5 Berechnungspfade**
+
+
+
 ### 2(d)
 Beschreiben Sie die Sprache $L(N)$ aller Worte, die der Automat $N$ akzeptiert
 (formal oder informal, Ihre Wahl). Welche der Zeichenketten $s_i (i ∈ \{ 1, 2, . . . , 5 \})$
 gehören zu $L(N )$, welche nicht?
 
+**Antwort:**
+
+- Automat $N$ für Worte aus $\{x,y,z\}^*$, die kein $y$ enthalten und die Zeichenkette $xxy$ beinhalten
+- $L(N):=\{w ∈ Σ^* \space | \space w = a^n*b*c^n, n ∈ \mathbb{N}, a,c ∈ Σ\backslash\{y\}, b = xxz\}, Σ = \{c,y,z\}$
+
 ### 2(e)
 Beschreiben Sie die Sprache aller Worte, welche der Automat $N$ nicht vollständig
 bearbeiten kann, unabhängig davon ob $N$ die Worte akzeptiert oder nicht (formal
 oder informal, Ihre Wahl). Also die Worte, für die kein Berechnungspfad existiert
 der alle Zeichen liest
 
+**Antwort:**
+- Informell: Alle Worte, welche nach einem `y` ein `x` oder `z` beinhalten.
+- Formell: $L(\not N) := \{w ∈ Σ^* \space | \space w = a^n*b^m*c^m*d^n, n ∈ \mathbb{N}, m ∈ \mathbb{N}_0, a,c ∈ \{x,z\}, b ∈ \{y\}, d ∈ Σ\}$
 
 ## Übung 3
 ### 3(a)
@@ -218,6 +260,20 @@ Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automaten $A$ in formaler Tup
 Darstellung, der genau die Worte akzeptiert die $A$ nicht akzeptiert. Beweisen Sie
 die Korrektheit Ihrer Konstruktion.
 
+**Antwort:**
+- $A' = (Σ,Q,q_s,Q'_a,δ)$
+  - $Q'_a=Q\backslash Q_a$
+- Beweis:
+  - wenn $w ∈ Σ^*$ ein beliebiges Wort ist
+    - $δ(q_s, w) = q$
+    - Falls $q ∈ Q_a$
+      - $A$ akzeptiert das Wort
+      - da $q \not ∈ Q'_a$, akzeptiert $A'$ nicht
+    - Falls $q \not ∈ Q_a$
+      - $A$ akzeptiert das Wort nicht
+      - da $q ∈ Q'_a$, akzeptiert $A'$
+    - Es gilt also
+      - $w ∈ L(A') ↔ w \not ∈ L(A)$
 
 ### 3(b)
 Gegeben sei ein beliebiger nichtdeterministischer endlicher Automat $N = (Σ, Q, q_s, Q_a, δ)$.
@@ -226,6 +282,30 @@ endlichen Automaten $N$ konstruieren, der genau die Worte akzeptiert, die $N$ ni
 akzeptiert? Falls ja, beweisen Sie die Korrektheit der Konstruktion. Falls nein,
 geben Sie ein Beispiel für das die Konstruktion scheitert.
 
+**Antwort:**
+- Nein, kann nicht konstruiert werden
+  - in einem NEA gibt es _mindestens_ einen Pfad, der in einen akzeptierenden Zustand führt, damit das Wort akzeptiert wird
+  - durch einfaches Subtrahieren der Mengen ändert sich nicht automatisch die Gesamtaussage über (Nicht-)Akzeptanz aller Pfade
+- Beispiel
+  - $Σ = \{a\}$
+  - $Q = \{q_0, q_1\}$
+  - $q_s = q_0$
+  - δ
+    - |       | (.,a)         |
+      |-------|---------------|
+      | $q_0$ | $\{q_0,q_1\}$ |
+      | $q_1$ |               |
+  - Verhalten von A
+    - für $w=a$
+      - $q_0 \xrightarrow[a] q_0$ → nicht akzeptierend
+      - $q_0 \xrightarrow[a] q_1$ → akzeptierend
+    - es existiert ein akzeptierender Pfad → a wird akzeptiert
+  - $Q'_a=\{q_0\}$
+    - für $w=a$
+      - $q_0 \xrightarrow[a] q_0$ → akzeptierend
+      - $q_0 \xrightarrow[a] q_1$ → nicht akzeptierend
+    - es existiert ein akzeptierender Pfad → a wird wieder akzeptiert
+      
 
 
 ## Übung 4
@@ -236,15 +316,117 @@ Betrachten Sie die beiden deterministischen endlichen Automaten $A_1$ und $A_2$
 Beschreiben Sie den Aufbau von Worten $w$ aus der Sprache $L(A_1) ∪ L(A_2)$ (formal
 oder informal, Ihre Wahl)
 
+- informal: alle Worte, die genau drei `1` enthalten oder keine zwei `1` aufeinanderfolgend beinhalten
+
 
 ### 4(b)
 Konstruieren Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten $N_∪$, der die
 Sprache $L(A_1) ∪ L(A_2)$ akzeptiert
 
+```plantuml
+@startuml
+scale 0.50
+
+left to right direction
+skinparam dpi 150
+
+skinparam state {
+    BackgroundColor #FFFACD
+    BorderColor black
+    FontName Helvetica
+    RoundCorner 30
+    Shadowing false
+    LineThickness 0
+}
+
+
+
+
+[*] --> S
+S --> A1 : ε
+S --> A2 : ε
+
+' --- Automat A1 ---
+state "A" as A1 {
+  [*] --> a0
+  a0 --> a0 : 0
+  a0 --> a1 : 1
+  a1 --> a1 : 0
+  a1 --> a2 : 1
+  a2 --> a2 : 0
+  a2 --> a3 : 1
+  a3 --> a3 : 0
+  state a3##[bold]
+}
+
+' --- Automat A2 ---
+state "B" as A2 {
+  [*] --> b0
+  b0 --> b0 : 0
+  b0 --> b1 : 1
+  b1 --> b0 : 0
+  b1 --> b2 : 1
+  state b0##[bold]
+  state b1##[bold]
+}
+
+
+@enduml
+```
+
 ### 4(c)
 Beschreiben Sie den Aufbau von Worten $w$ aus der Sprache $L(A_1) ∩ L(A_2)$ (formal
 oder informal, Ihre Wahl)
 
+- Alle Wörter, die aus genau drei `1` bestehen und niemals 2x hintereinander eine `1` haben
+
 ### 4(d)
 Konstruieren Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten $N_∩$, der die
-Sprache $L(A_1) ∩ L(A_2)$ akzeptiert
+Sprache $L(A_1) ∩ L(A_2)$ akzeptiert
+
+
+```plantuml
+@startuml
+scale 0.50
+
+left to right direction
+skinparam dpi 150
+
+skinparam state {
+    BackgroundColor #FFFACD
+    BorderColor black
+    FontName Helvetica
+    RoundCorner 30
+    Shadowing false
+    LineThickness 0
+}
+
+[*] --> a
+
+' a: noch keine 1 gelesen
+state a {
+}
+
+a --> a : 0
+a --> b : 1
+
+' b: eine 1 gelesen, darf nur 0 folgen
+b --> b : 0
+b --> c : 0
+
+' c: bereit für zweite 1
+c --> d : 1
+
+' d: zwei 1 gelesen, darf nur 0 folgen
+d --> d : 0
+d --> e : 0
+
+' e: bereit für dritte 1
+e --> f : 1
+
+' f: drei 1 gelesen – akzeptierend
+state f##[bold]
+f --> f : 0
+@enduml
+
+```