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         <toc-element toc-title="Theoretische Informatik">
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Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/02_GrundlagenFormaleSprachen.md

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+# Grundlagen formaler Sprachen
+## Von einer Problembeschreibung zur Codierung
+
+**Erinnerung k-Clique**
+- Eingabe: Graph $V = (V, E)$ und $k ∈ Ν$
+- Ausgabe: Gibt es eine Clique C der Größe k in G
+
+> Wie erhält ein Algorithms diese Eingabe (Graph)
+> 
+> Wie teilt der Algorithmus die Ausgabe (Ja/Nein) mit?
+
+### Beispiel: Codierung eines gerichteten Graphen
+- Graph sei über Adjazenzlisten gegeben
+- Wir Codieren den Graphen als Bitstring
+
+**Mögliche Codierung eines Graphen**
+![image_678.png](image_678.png)
+
+- andere Codierungen oder auch anderes Alphabet denkbar
+- geht auch für gerichtete Graphen (z.B. für k-Clique)
+
+
+## Grundbegriffe
+### Alphabete und Zeichenketten
+> Alphabet Σ: endliche Menge von Zeichen
+> 
+> Zeichenkette s über Alphabet Σ: endliche Zeichenfolge aus Σ
+ 
+- die leere Zeichenkette bezeichnen wir als ε
+- $s_1 * s_2$ ist die **Konkatenation** (_Verkettung_) zweier Zeichenketten $s_1$ und $s_2$
+
+- $Σ^*$: Menge aller (auch leerer) Zeichenketten über Σ
+- $Σ^+$: Menge aller nicht-leerer Zeichenketten über Σ
+
+#### Beispiel Alphabete und Zeichenketten
+Sei $Σ=\{a,b,c\}$
+- Alle Zeichenketten der Länge 2 über Σ:
+  - {$aa$, $ab$, $ac$, $ba$, $bb$, $bc$, $ca$, $cb$, $cc$}
+- $s_1 = ababc ∈ Σ^*$ und $s_2 = cbbb ∈ Σ^*$
+- für $s = ababccbbb$ gilt $s = s_1 * s_2 ∈ Σ^*$
+
+
+### Präfixe, Suffixe und Teilzeichenketten
+> Sei s ∈ $Σ^*$ eine Zeichenkette über Σ.
+> 
+> 
+> Suffix u von s: $∃s' in Σ^*$ so dass $s = s' * u$
+> 
+> Präfix u von s: $∃s'' ∈ E^*$ so dass $s = u * s''$
+> 
+> Teilzeichenkette u von s: $∃s',s'' ∈ E^*$ so dass $s = s' * u * s''$
+
+- $|s|$: Länge der Zeichenkette s
+- $\#_a(s)$: Häufigkeit des Zeichens $a ∈ Σ$ in Zeichenkette $s ∈ Σ^*$
+
+#### Beispiel Präfixe, Suffixe und Teilzeichenketten
+Sei $Σ = \{0,1\}$ und $s = 101011110$.
+- Wieviele Präfixe hat s?
+  - 8
+- Wie viele Zeilzeichenketten der Länge 3 hat s?
+  - 3?
+- **kompaktere Notation**: $s:s = 101011110 = (10)^21^40$
+
+## Sprachen und das Wortproblem
+> im Folgenden sei immer Σ das zugrunde liegende Alphabet
+
+**Definition**:
+> formale Sprache L über Σ: eine Teilmenge von $Σ^*$
+> 
+> Wort w aus L: ein Element $w ∈ L$
+
+- L kann unendliche ($|l| = ∞$) oder endliche ($|L| = k ∈ Ν$) sein
+
+**Beispiel**
+- Σ = {0,1,...,9}
+- Beschreibe die Worte aus $L=\{007*s | s ∈ Σ^*\}$.
+  - $(007)^1\{0,1,...,9\}^*$ **?**
+- Wie viele Wörter enthält $L=\{s ∈ \{0,1,2\}^* | |s| ≤ 5\}$?
+  - $ \sum_{n=0}^{5} 5^n$ **?**
+
+### Algorithmisches Problem für formale Sprachen
+- L sei eine beliebige Sprache über Σ
+- ![image_679.png](image_679.png)
+- es handelt sich also um ein Entscheidungsproblem
+- wir geben typischerweise $1$ aus, wenn $s ∈ L$ und sonst $0$
+