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Writerside/topics/04/Theoretische Informatik/03_GrundlagenEndlicherAutomaten.md

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 ### Sprache eines Automaten
 > Sei $A=( Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$ ein DEA. Die fortgesetzte Übergangsfunktion $ δ^*: Q x Σ^* →Q$ ist definiert durch
 > 
-> $ δ^*(q, ∈):=q$ und 
+> $ δ^*(q, ε):=q$ und 
 > 
 > $ δ^*(q,wx):= δ( δ^*(q,w),x)$ für $w ∈ Σ^* und x ∈ Σ$
 
 ↑ ~_induktive Definition_
 
-> Sei $A= ( Σ,Q, q_s, Q_A, δ) ein DEA.
+> Sei $A= ( Σ,Q, q_s, Q_a, δ) ein DEA.
 > 
-> (a) Wir sagen $A$ akzeptiert $w ∈ Σ^*$, wenn $ δ^*(q_s,w) ∈ Q_A$
+> (a) Wir sagen $A$ akzeptiert $w ∈ Σ^*$, wenn $ δ^*(q_s,w) ∈ Q_a$
 > 
 > (b) Die von $A$ akzeptierte Sprache ist $L(A) := \{w ∈ Σ^* \space| \space A\space akzeptiert \space w\}$
 
+### Übung:
+#### (a) $L_1 = \{a^nb^mc^k \space | \space n,m,k ≥ 1\}$
+![image_749.png](image_749.png)
+
 ### Unvollständige Automaten
-> Ein unvollständiger deterministischer Automat $A=( Σ, Q,Q_s, Q_A, δ)$ ist wie ein normaler DEA 
+> Ein unvollständiger deterministischer Automat $A=( Σ, Q,Q_s, Q_a, δ)$ ist wie ein normaler DEA 
 > mit folgenden Änderungen:
 > 
 > (a) Die Übergangsfunktion $ δ$ darf partiell sein 
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   - wechsle in Folgezustand
     - ist akzeptierend? → `:)`
     - sonst → verwerfe 
--
-#### Beispiel NEA
+    - > Goldene Regel: Akzeptiere Eingabe, wenn akzeptierende Berechnung existiert
+
+### Sprache eines NEA
+> Sei $N=( Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$ ein NEA. Die fortgesetzte Übergangsfunktion $ δ^*: Qx Σ^*→P(Q)$ ist definiert durch:
+>
+> $ δ^*(q, ε) := \{q\}$ und
+>
+> $ δ^*(q,wx) := ∪ δ(q', x)$ für $w ∈ Σ^*$ und $x ∈ Σ$
+>
+> _$q' ∈ δ^*(q,w)$_
+
+### Beispiel NEA
 ![image_742.png](image_742.png)
+
+![image_743.png](image_743.png)
+
+## NEA vs DEA
+- NEA scheinbar viel mächtiger als DEAs
+  - sehr viele Berechnungspfade (statt nur einem pro Wort)
+- Alternativer Blick auf das Parsen eines NEAs
+  - für jede Stelle der Eingabe
+    - in welchen Zuständen könnte der NEA sein?
+  - akzeptiere, wenn finaler Metazustand Zustand aus $Q_a$ enthält
+    - ![image_744.png](image_744.png)
+
+
+## Potenzautomaten
+![image_745.png](image_745.png)
+
+![image_746.png](image_746.png)
+
+### Konstruktion und Sprache eines Potenzautomaten
+#### Konstruktion: Funktionstabelle für δ
+- 1. Spalte: bisher entdeckte Metazustände
+- restliche Spalten: Folge-Metazustand für jedes Zeichen $x ∈ Σ$
+- solange unvollständige Zeile existiert: ausfüllen
+  - initial: nur $\{s\}$ sicher erreichbar → eine unvollständige Zeile
+  - je neu entdecktem Metazustand: lege neue Zeile an
+
+> Der Potenzautomat $A_N$ eines NEA $N$ ist ein deterministischer endlicher Automat mit $L(A_N) = L(N)$
+> 
+> ![image_747.png](image_747.png)
+> 
+> Beweis: ![image_748.png](image_748.png)
+
+## Mächtigkeit & Grenzen endlicher Automaten
+- parsen einfacher Strukturen
+  - E-Mail
+  - XML-Tags
+  - Datumsformate
+  - ...
+- können sich Dinge merken
+- NEAs betrachten viele Berechnungswege "gleichzeitig"
+  - sind aber letztlich nur _Syntactic Sugar_
+    - _nur dafür da, dass es besser lesbar ist_
+
+- können sich nur so viel merken, wie sie Zustände haben
+  - geht: das 17. Zeichen von w ist 0
+  - geht nicht: das |w|/2. Zeichen von w ist 0
+- können keine komplexen Strukturen erkennen
+  - Palindrome
+    - _LAGERREGAL_
+  - arithmetische Ausdrücke
+    - $42*(x+y)-z$
+  - Hierarchien
+  - Verschachtelungen
+  - ...