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+# Übungsblatt 9
+> Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)
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+## Aufgabe 1
+Geben Sie für die folgende Sprachen über dem Alphabet $\Sigma = \{ a, b, c \}$ eine kontextfreie Grammatik $G_1$ an, so dass $L(G_1) = L_1$ gilt:
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+**$L_1 = \{ a^m b^c n \mid n, m \in \mathbb{N}, m < n + 1 \}$**
+
+```
+S → aXc
+X → aXc | Xc | b
+```
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+$L_2 = \{ a^m b^c n \mid n, m \in \mathbb{N}, m > n + 1 \}$
+
+```
+S → aaaXc 
+X → aXc | aX | b
+```
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+$L_3 = \{ a^m b^c n \mid n, m \in \mathbb{N}, m \neq n + 1 \}$
+
+```
+S → aXc | aaaYc
+X → aXc | Xc | b
+Y → aYc | aY | b
+```
+
+## Aufgabe 2
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+### 2a)
+Geben Sie eine kontextfreie Grammatik $G_{arithm}$ an, welche die Sprache der vollständig geklammerten arithmetischen Ausdrücke über dem Alphabet $\Sigma = \{ 0, 1, \dots, 9, +, -, \cdot, /, (, ) \}$ erzeugt.  
+Beispiel: $((23 - 42)/21) \in L(G_{arithm})$
+
+```
+S → (SOS) | Z
+O → + | - | * | /
+Z → OZ | O
+O → 0 | 1 | ... | 9
+```
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+### 2b)
+Geben Sie eine kontextfreie Grammatik $G_{reg}$ an, welche die Sprache der vollständig geklammerten regulären Ausdrücke für reguläre Sprachen über dem Alphabet $\{ 0, 1, \dots, 9 \}$ erzeugt.
+
+```
+S → (S|S) | (S*S) | (S*) | O 
+O → OZ | Z
+Z → 0 | 1 | ... | 9
+```
+
+## Aufgabe 3
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+### 3a)
+Gegeben sei die folgende kontextfreie Grammatik $G$ über dem Alphabet $\Sigma = \{ x, y, z \}$:
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+```
+S → y S y | H  
+H → x H | x | H'  
+H' → H | z
+```
+
+Geben Sie eine CNF-Grammatik $G'$ an, so dass $L(G') = L(G)$ gilt. Geben Sie geeignete Zwischenschritte an und erläutern Sie Ihr Vorgehen.
+
+```
+G'(0):
+S → S'
+S' → yS'y | H
+H → xH | x | H'
+H' → H | z
+
+G'(1):
+S → S'
+S' → yS'y | H
+H → xH | x | H'
+H' → H | z
+
+G'(2):
+S → yS'y | xH | x | z
+S' → yS'y | xH | x |z
+H → xH | x | z
+
+G'(3):
+S → XS'' | XH | x | z
+S'' → S'Y
+S' → YS'' | XH | x | z
+H → XH | x | z
+Y → y
+X → x
+```
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+
+### 3b)
+Geben Sie für die Sprache $L = \{ v \cdot a^n b^n \mid v \in \{ a, b, c \}^\ast, n \in \mathbb{N} \}$ eine CNF-Grammatik $G$ an, so dass $L(G) = L$ gilt.
+
+$$S → VX | V_aX_1 | V_aV_b$$
+$$V → V_aV | V_bV | V_cV | a | b | c$$
+$$X → V_aX_1 | V_aV_b$$
+$$X_1 → XV_b$$
+$$V_a → a$$
+$$V_b → b$$
+$$V_c → c$$
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+
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+## Aufgabe 4
+
+Gegeben sei die folgende CNF-Grammatik $G$:
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+```
+S → A B | N H | N E  
+A → N H | N E  
+B → E B | 1  
+H → A E  
+N → 0  
+E → 1
+```
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+### 4a)
+Beschreiben Sie die Sprache $L(G)$ in formaler Mengenschreibweise.
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+$$L(G) := \{0^n1^m|n,m ∈ N, n ≤ m\}$$
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+### 4b)
+Leiten Sie fünf selbstgewählte Wörter $w \in \{ 0, 1 \}^\ast$ unterschiedlicher Länge mit Hilfe der Grammatik $G$ ab (Folge von 1-Schritt-Ableitungen).
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+$$01: S → NE → 0E → 01$$
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+$$011: S → AB → NEB → 0EB → 01B → 011$$
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+$$00111: S → AB → NHB → NAEB → NNEEB → 0NEEB → 00EEB → 001EB → 0011B → 00111$$
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+$$0111: S→ AB→ NEB → 0EB → 01B → 01EB → 011B → 0111$$
+
+$$001111: S → AB → NHB → NAEB → NNEEB → 0NEEB → 00EEB → 001EB → 001EEB → 0011EB → 00111B → 001111$$
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+### 4c)
+Wie viele Ableitungsschritte wurden jeweils in 4b benötigt? Geben Sie möglichst exakt an, wie viele Ableitungsschritte (in Abhängigkeit von $n$) nötig sind, um ein Wort $w \in L(G)$ der Länge $n \in \mathbb{N}$ abzuleiten.
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+2 → 3; 3 → 5; 5 → 9; 4 → 7; 6 → 11
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+→ $2n - 1$
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+### 4d)
+Lässt sich Ihre Erkenntnis aus 4c auf andere CNF-Grammatiken übertragen? Begründen Sie Ihre Antwort.
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+Ja, da die CNF eine binäre Struktur erzwingt, was stets zu $2n-1$ Ableitungsschritten führt.
+→ Jede Regel ist entweder vom Typ `A→BC` oder `A→a`, was zu einem binären Baum führt.