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+# Übungsblatt 10
+> Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)
+
+## Aufgabe 1
+
+### 1a)
+Gegeben sei folgende CNF-Grammatik $G_1$:
+
+```
+G_1:  
+S → AB | CD  
+C → AB  
+D → BA  
+A → 0  
+B → 1
+```
+
+Nutzen Sie den CYK-Algorithmus, um zu entscheiden, ob das Wort $w = 0110$ zur Sprache $L(G_1)$ gehört.  
+Legen Sie dazu eine Tabelle analog zu dem Beispiel aus der Vorlesung (Kapitel 7, Folie 16) an und füllen Sie diese entsprechend aus.
+
+| $Var(w)_{[i,j]}(G_1)$ | 1       | 2       | 3  | 4       |
+|-----------------------|---------|---------|----|---------|
+| 1                     | $\{A\}$ | {S,C}   | {} | $\{S\}$ |
+| 2                     | -       | $\{B\}$ | {} | {}      |
+| 3                     | -       | -       |    | $\{D\}$ |
+| 4                     | -       | -       | -  | $\{A\}$ |
+
+→ $w ∈ L(G_1)$
+
+### 1b)
+Gegeben sei folgende CNF-Grammatik $G_2$:
+
+```
+G_2:  
+S → AB  
+A → AA | AC | a  
+B → BC | b  
+C → CC | a | c
+```
+
+Nutzen Sie analog zu Aufgabe 1a den CYK-Algorithmus, um zu entscheiden, ob das Wort $w = acb$ zur Sprache $L(G_2)$ gehört.
+
+| $Var(w)_{[i,j]}(G_2)$ | 1         | 2         | 3       |
+|-----------------------|-----------|-----------|---------|
+| 1                     | $\{A,C\}$ | $\{A,C\}$ | $\{S\}$ |
+| 2                     | -         | $\{C\}$   | {}      |
+| 3                     | -         | -         | $\{B\}$ |
+
+→ $w ∈ L(G_1)$
+
+## Aufgabe 2
+
+Gegeben sei folgende CNF-Grammatik $G$:
+
+```
+G:  
+S → AB  
+A → AA | AC | a  
+B → BC | b  
+C → CC | a | c
+```
+
+### 2a)
+Zeichnen Sie zwei verschiedene Syntaxbäume für das Wort $w = acacaaabaca \in L(G)$.
+
+![image_961.png](image_961.png)
+
+### 2b)
+Finden Sie ein Wort $w \in L(G)$, zu dem ein Ableitungsbaum mit möglichst wenig Knoten existiert, und zeichnen Sie den zugehörigen Ableitungsbaum.
+
+$w = ab$
+
+![image_962.png](image_962.png)
+
+## Aufgabe 3
+
+Betrachten Sie die folgenden Grammatiken $G_1$ und $G_2$. Gibt es zu der jeweiligen Grammatik $G_i$ ($i \in \{1, 2\}$) ein Wort $w \in L(G_i)$ mit mehr als einem Syntaxbaum? Begründen Sie Ihre Antwort.
+
+### 3a)
+
+```
+G_1:  
+S → 0 1 | 0 S 1
+```
+
+Nein, es gibt kein Wort mit mehreren Syntaxbäumen, da die Regeln jeden Schritt genau vorgeben, da
+wir nur eine Regel mit Rekursion haben, ist keine Mehrdeutigkeit möglich.
+
+### 3b)
+
+```
+G_2:  
+S → 0 B | 1 A  
+A → 0 | 0 S | 1 A A  
+B → 1 | 1 S | 0 B B
+```
+
+Nein, es gibt keine Möglichkeit mehrere Syntaxbäume zu bilden, da zwar eine Rekursion möglich ist durch
+$B → 0BB$ und $A→1AA$, jedoch durch die 1 und 0 vor den Variablen kein alternativer Pfad gebildet werden kann.
+
+## Aufgabe 4
+
+Für eine Sprache $L$ über einem Alphabet $\Sigma$ definieren wir
+
+$$
+L^R := \{ w^R \mid w \in L \}
+$$
+
+Dabei gilt $w^R = w_n w_{n-1} \dots w_1$ für $w = w_1 w_2 \dots w_n \in L$ mit $w_i \in \Sigma$.
+
+Beschreiben Sie ein algorithmisches Verfahren, das aus einer kontextfreien Grammatik $G$ eine kontextfreie Grammatik $G^R$ erzeugt, so dass $L(G^R) = L(G)^R$ gilt. Begründen Sie die Korrektheit Ihres Verfahrens.
+
+Gegeben: $G=(Σ, V, S, R)$
+- S, V und Σ bleiben gleich
+- Für jede Regel $A → X_1X_2...X_n$
+  - Regel $A → X_n, X_{n-1}, ..., X_1$ hinzufügen
+
+Da kontextfreie Grammatiken keine Einschränkungen hinsichtlich der Position von (Nicht-)Terminalen in Regeln haben,
+bleibt die resultierende Grammatik $G^R$ kontextfrei.
+Die Korrektheit folgt daraus, dass jede Regel in $G$ eine Regel in $G^R$ erzeugt, die das gleiche Wort in umgekehrter Reihenfolge generiert.
+
+## Aufgabe 5
+
+Für eine Sprache $L$ über dem Alphabet $\Sigma = \{ 0, 1 \}$ definieren wir
+
+$$
+L^{\text{prfx}} := \{ x \in \Sigma^\ast \mid \exists y \in \Sigma^\ast : x \cdot y \in L \}
+$$
+
+Beschreiben Sie ein algorithmisches Verfahren, das aus einer regulären Grammatik $G$ eine reguläre Grammatik $G_{\text{prfx}}$ erzeugt, so dass $L(G_{\text{prfx}}) = L(G)_{\text{prfx}}$ gilt. Begründen Sie die Korrektheit Ihres Verfahrens.
+
+Gegeben: $G=(Σ, V, S, R)$
+- Wandle G in einen NEA N um
+- Markiere alle Zustände als akzeptierend → $N_{prfx}$
+  - Präfix kann beliebig lang sein und muss kein nachfolgendes Symbol haben
+- Wandle $N_{prfx}$ in eine rechtslineare Grammatik $G_{prfx}$ um
+
+- Oder für jede Nichtterminale die Regel $A → ε$ hinzufügen