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@ -142,6 +142,7 @@
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<toc-element topic="01Einleitung.md"/>
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@ -0,0 +1,389 @@
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# Übungsblatt 8
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> Wenzel Schwan (1125033), Paul Kneidl (1125219), David Schirrmeister (1125746), Michelle Klein (1126422)
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## Übung 1
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### 1(a)
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Beschreiben Sie für jeden der folgenden regulären Ausdrücke $\alpha_i$ die entsprechende Sprache $L(\alpha_i)$ (formal oder informal, Ihre Wahl):
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- (i) $\alpha_1 = (00 \mid 1)^* (11 \mid 0)$
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||||
- Alle Wörter, welche mit beliebig vielen Aneinanderreihungen von `00` und `1` beginnen und dann mit `11` oder `0` enden
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||||
- (ii) $\alpha_2 = (1 \mid 01 \mid 001)^* (1 \mid 111)$
|
||||
- Alle Wörter, welche mit beliebig vielen Aneinanderreihungen von `1`, `01` und `001` beginnen und dann mit `1` oder `111` enden
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### 1(b)
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||||
Bestimmen Sie für jeden der folgenden regulären Ausdrücke $\beta_i$ einen endlichen Automaten (deterministisch oder nichtdeterministisch, Ihre Wahl), der die Sprache $L(\beta_i)$ akzeptiert:
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||||
- (i) $\beta_1 = \emptyset$
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- ```plantuml
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@startuml
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scale 0.50
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left to right direction
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BorderColor black
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RoundCorner 30
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||||
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LineThickness 0
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}
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state S##[bold]
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[*]-->S
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@enduml
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```
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||||
- (ii) $\beta_2 = ((0 \mid 1)^* 1)^*$
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- ```plantuml
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@startuml
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scale 0.50
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||||
left to right direction
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|
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||||
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||||
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|
||||
BorderColor black
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||||
FontName Helvetica
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||||
RoundCorner 30
|
||||
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|
||||
LineThickness 0
|
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}
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||||
state S##[bold]
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||||
state U##[bold]
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||||
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||||
[*]-->S
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S --> T: 0,1
|
||||
T --> U: 1
|
||||
T --> T: 0,1
|
||||
S --> U: 1
|
||||
U --> T: 0,1
|
||||
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||||
@enduml
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||||
```
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### 1(c)
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||||
Betrachten Sie die endlichen Automaten $N_1$ und $N_2$ aus Abbildung 1. Bestimmen Sie für jede der drei Sprachen $L(N_1)$, $L(N_2)$ und $L(N_1) \setminus L(N_2)$ einen regulären Ausdruck, der die jeweilige Sprache beschreibt.
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||||
- $L(N_1)$
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||||
- $1(0|1)^*1$
|
||||
- $L(N_2)$
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||||
- $(0|1)^*11(0|1)^*$
|
||||
- $L(N_1) \backslash L(N_2)$
|
||||
- $10(0|10)^*1$
|
||||
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### 1(d)
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||||
Bestimmen Sie einen regulären Ausdruck, der die Sprache aller Binärstrings beschreibt, die **nicht auf 11 enden**.
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||||
$(0|1)^*(00|01|10)$
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## Übung 2
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||||
Betrachten Sie folgende reguläre Grammatik über dem Alphabet $\Sigma = \{x, y, z\}$:
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$$
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||||
G: \quad
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||||
S \Rightarrow xS \mid xA \mid zB \\
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||||
A \Rightarrow yA \mid B \\
|
||||
B \Rightarrow zB \mid \varepsilon
|
||||
$$
|
||||
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### 2(a)
|
||||
Erarbeiten Sie sich den Begriff eines nichtdeterministischen endlichen Automaten mit $\varepsilon$-Übergängen mit Hilfe des Skriptes (Seiten 137–139).
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||||
Überlegen Sie sich, wie sich ein zur Grammatik $G$ passender, nichtdeterministischer endlicher Automat mit $\varepsilon$-Übergängen konstruieren lässt, der die Sprache $L(G)$ akzeptiert.
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||||
Geben Sie den Automaten dazu in **Graphdarstellung** an.
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||||
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||||
```plantuml
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||||
@startuml
|
||||
scale 0.50
|
||||
|
||||
left to right direction
|
||||
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||||
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||||
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||||
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|
||||
BorderColor black
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||||
FontName Helvetica
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||||
RoundCorner 30
|
||||
Shadowing false
|
||||
LineThickness 0
|
||||
}
|
||||
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||||
state B##[bold]
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||||
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||||
[*]-->S
|
||||
S --> S: x
|
||||
S --> A: x
|
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S --> B: z
|
||||
A --> A: y
|
||||
A --> B: ε
|
||||
B --> B: z
|
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||||
@enduml
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||||
```
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||||
### 2(b)
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||||
Nutzen Sie das Kochrezept aus den Folien (Kapitel 6), um die Grammatik zu normalisieren.
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||||
(Schritte 1 und 2 des Kochrezepts sind hier nicht notwendig, da es keine Regeln der entsprechenden Form gibt.)
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- $S → xS | xA | zB$
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||||
- $A → yA | zB | ε$
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||||
- $B → zB | ε$
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||||
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||||
### 2(c)
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||||
Nutzen Sie den zweiten Teil des Kochrezepts zur Umwandlung einer regulären Grammatik $G$ in einen NEA (Kapitel 6), um für die **normalisierte Grammatik** einen NEA zu konstruieren, der die von der Grammatik erzeugte Sprache akzeptiert.
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||||
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||||
```plantuml
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||||
@startuml
|
||||
scale 0.50
|
||||
|
||||
left to right direction
|
||||
skinparam dpi 150
|
||||
|
||||
skinparam state {
|
||||
BackgroundColor #FFFACD
|
||||
BorderColor black
|
||||
FontName Helvetica
|
||||
RoundCorner 30
|
||||
Shadowing false
|
||||
LineThickness 0
|
||||
}
|
||||
|
||||
state B##[bold]
|
||||
state A##[bold]
|
||||
|
||||
[*]-->S
|
||||
S --> S: x
|
||||
S --> A: x
|
||||
S --> B: z
|
||||
A --> A: y
|
||||
A --> B: z
|
||||
B --> B: z
|
||||
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||||
@enduml
|
||||
```
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||||
## Übung 3
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### 3(a)
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||||
Entwerfen Sie eine reguläre Grammatik $G_{\text{date}}$, um Datumsangaben bestehend aus Tag (T), Monat (M) und Jahr (Y) in der Form `YYYY-MM-TT` über einem geeigneten Alphabet zu erzeugen.
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||||
- Σ = {0,...,9,-}
|
||||
- $S = S$
|
||||
- $V=\{S,Y,M,D,Y_1,Y_2,Y_3,A,B,M_1,M_2,C\}$
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||||
- $R$
|
||||
- $S→YMD$
|
||||
- $Y → AY_1$
|
||||
- $Y_1 → AY_2$
|
||||
- $Y_2 → AY_3$
|
||||
- $Y_3 → AB$
|
||||
- $A→0|1|2|3|4|5|6|7|8|9$
|
||||
- $B→-$
|
||||
- $M→0M_1|1M_2$
|
||||
- $M_1→1B|2B|3B|4B|5B|6B|7B|8B|9B$
|
||||
- $M_2→0B|1B$
|
||||
- $D→0A|1A|2A|3C$
|
||||
- $C→0|1$
|
||||
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||||
### 3(b)
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||||
Entwerfen Sie eine reguläre Grammatik $G_{\text{time}}$, um Uhrzeiten bestehend aus Stunde (H) und Minute (M) in der Form `HH:MM` über einem geeigneten Alphabet zu erzeugen.
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||||
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||||
- Σ = {0,...,9,:}
|
||||
- $S = S$
|
||||
- $V=\{S,H,M,A,H_1}$
|
||||
- $R$
|
||||
- $S→HM$
|
||||
- $H→0H_1|1H_1|2H_1|3H_1|4H_1|5H_1$
|
||||
- $H_1→A:$
|
||||
- $A→0|1|2|3|4|5|6|7|8|9$
|
||||
- $M→0A|1A|2A|3A|4A|5A$
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||||
|
||||
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||||
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||||
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### 3(c)
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||||
Kombinieren Sie die Grammatiken $G_{\text{date}}$ und $G_{\text{time}}$ zu drei neuen Grammatiken, welche jeweils die Sprache
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$L(G_{\text{date}}) \cup L(G_{\text{time}})$,
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||||
$L(G_{\text{date}}) \circ L(G_{\text{time}})$ und
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||||
$L(G_{\text{date}})^*$ erzeugen.
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||||
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||||
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||||
**(i) $L(G_{\text{date}}) \cup L(G_{\text{time}})$**
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||||
Um die Vereinigungsgrammatik zu erzeugen, fügt man eine neue Startregel hinzu, die entweder in das Datum oder in die Uhrzeit verzweigt. Es wird also eine neue Startvariable $S'$ eingeführt und die bisherigen Startsymbole $S_{\text{date}}$ und $S_{\text{time}}$ ersetzt:
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|
||||
- Neue Startregel:
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||||
- $S' \rightarrow S_{\text{date}} \mid S_{\text{time}}$
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||||
- Dabei ist $S_{\text{date}}$ die bisherige Startvariable der Datumsgrammatik, $S_{\text{time}}$ die der Uhrzeitgrammatik.
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||||
- Alle Regeln aus beiden Grammatiken werden übernommen und $S$ wird jeweils durch $S_{\text{date}}$ bzw. $S_{\text{time}}$ ersetzt, um Namenskonflikte zu vermeiden.
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---
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||||
**(ii) $L(G_{\text{date}}) \circ L(G_{\text{time}})$**
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||||
Für die Konkatenation fügt man eine neue Startregel ein, die zuerst die Erzeugung eines Datums, danach die einer Uhrzeit erlaubt. Auch hier müssen die Startvariablen unterschieden werden:
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- Neue Startregel:
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||||
- $S' \rightarrow S_{\text{date}} S_{\text{time}}$
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||||
- Wieder werden alle bisherigen Regeln beibehalten, aber die Startvariablen entsprechend umbenannt.
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||||
- Die Sprache besteht dann aus Zeichenketten der Form `YYYY-MM-DDHH:MM`.
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---
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||||
**(iii) $L(G_{\text{date}})^*$**
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||||
Um beliebig viele Datumsangaben zu erzeugen, wird ein neuer Startzustand $S'$ eingeführt, der entweder ein Datum erzeugt, gefolgt von einer rekursiven Wiederholung, oder auf $\varepsilon$ endet:
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||||
- Neue Startregeln:
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||||
- $S' \rightarrow S_{\text{date}} S' \mid \varepsilon$
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||||
- Die übrige Grammatik bleibt unverändert.
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||||
- Es können also beliebig viele aufeinanderfolgende Datumsangaben erzeugt werden, z.B. `2025-06-152025-07-01...`
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||||
Bei allen drei Fällen ist es notwendig, **Namenskonflikte** zwischen den Nichtterminalen der beiden Grammatiken (Datum vs. Uhrzeit) zu vermeiden. Das kann man entweder durch Präfixe (z.B. $A_{\text{date}}$, $A_{\text{time}}$) oder durch getrennte Mengen von Nichtterminalen und Startsymbolen lösen.
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## Übung 4
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Betrachten Sie den nichtdeterministischen endlichen Automaten $N$. Bestimmen Sie systematisch einen regulären Ausdruck, der die Sprache $L(N)$ beschreibt, indem Sie wie folgt vorgehen:
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### 4(a)
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Wandeln Sie $N$ in einen äquivalenten nichtdeterministischen Automaten $N_\varepsilon$ mit $\varepsilon$-Übergängen um, der **genau einen akzeptierenden Zustand** hat.
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```plantuml
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@startuml
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scale 0.50
|
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||||
left to right direction
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skinparam dpi 150
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||||
skinparam state {
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||||
BackgroundColor #FFFACD
|
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BorderColor black
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FontName Helvetica
|
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RoundCorner 30
|
||||
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|
||||
LineThickness 0
|
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}
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||||
state Z##[bold]
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[*]-->A
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A --> A: a
|
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A --> B: a
|
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A --> D: a
|
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D --> E: a
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E --> Z: ε
|
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B --> C: a
|
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C --> F: a
|
||||
F --> F: b
|
||||
F --> Z: ε
|
||||
F --> G: c
|
||||
A --> G: c
|
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G --> G: c
|
||||
G --> Z: ε
|
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||||
@enduml
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||||
```
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### 4(b)
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||||
Als nächstes erlauben wir anstatt einfachen Symbolen an den Kanten auch **reguläre Ausdrücke**.
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||||
Ein regulärer Ausdruck $\alpha$ an einer Kante von Zustand $q \in Q$ nach $q' \in Q$ (wir schreiben $q \xrightarrow{\alpha} q'$) bedeutet dabei, dass der Automat durch Lesen eines Wortes der Sprache $L(\alpha)$ von Zustand $q$ in Zustand $q'$ wechseln kann.
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||||
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||||
Mit diesem neuen Mittel ausgerüstet, können wir z.B. den Zustand $B$ aus dem Automaten $N_\varepsilon$ entfernen, indem wir die Kanten $A \xrightarrow{a} B$ und $B \xrightarrow{a} C$ entfernen und stattdessen die neue Kante $A \xrightarrow{aa} C$ einfügen.
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||||
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||||
**Entfernen Sie auf diese Weise nacheinander die Zustände $B$, $C$, $D$ und $E$ aus $N_\varepsilon$ und zeichnen Sie den entstehenden Automaten.**
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||||
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||||
```plantuml
|
||||
@startuml
|
||||
scale 0.50
|
||||
|
||||
left to right direction
|
||||
skinparam dpi 150
|
||||
|
||||
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|
||||
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|
||||
BorderColor black
|
||||
FontName Helvetica
|
||||
RoundCorner 30
|
||||
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|
||||
LineThickness 0
|
||||
}
|
||||
|
||||
state Z##[bold]
|
||||
|
||||
[*]-->A
|
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A --> A: a
|
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A --> F: aaa
|
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A --> Z: aa
|
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F --> F: b
|
||||
F --> Z: ε
|
||||
F --> G: c
|
||||
A --> G: c
|
||||
G --> G: c
|
||||
G --> Z: ε
|
||||
|
||||
@enduml
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
### 4(c)
|
||||
Als nächstes entfernen wir den Zustand $F$.
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||||
Betrachten Sie dazu jedes Paar $q, q' \in Q \setminus \{F\}$ mit Kanten $q \xrightarrow{\alpha} F$ und $F \xrightarrow{\beta} q'$.
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||||
Fügen Sie als Ersatz für diese Kanten eine Kante $q \xrightarrow{\gamma} q'$ für einen geeignet gewählten regulären Ausdruck $\gamma$ ein (beachten Sie die Schleife $F \xrightarrow{b} F$ in $F$!).
|
||||
Nach Bearbeitung aller solcher Paare kann der Zustand $F$ gelöscht werden (**warum?**).
|
||||
|
||||
**Entfernen Sie auf diese Weise neben Zustand $F$ auch den Zustand $G$ und zeichnen Sie den entstehenden Automaten.**
|
||||
|
||||
```plantuml
|
||||
@startuml
|
||||
scale 0.50
|
||||
|
||||
left to right direction
|
||||
skinparam dpi 150
|
||||
|
||||
skinparam state {
|
||||
BackgroundColor #FFFACD
|
||||
BorderColor black
|
||||
FontName Helvetica
|
||||
RoundCorner 30
|
||||
Shadowing false
|
||||
LineThickness 0
|
||||
}
|
||||
|
||||
state Z##[bold]
|
||||
|
||||
[*]-->A
|
||||
A --> A: a
|
||||
A --> Z: aa | aaa | aaa(b)* | aaa(c)+ | (c)+
|
||||
|
||||
@enduml
|
||||
```
|
||||
|
||||
### 4(d)
|
||||
Sie sollten nun einen Automaten mit noch zwei Zuständen (Startzustand und Endzustand) haben.
|
||||
Leiten Sie von diesem Automaten den regulären Ausdruck für die Sprache $L(N)$ ab.
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||||
(**Beachten Sie die Schleife in Zustand $A$!**)
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||||
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||||
$(a)^*(aa|aaa|aaa(b)^*|aaa(c^+)|(c)^+)$
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||||
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||||
### 4(e)
|
||||
Der erhaltene reguläre Ausdruck ist vermutlich recht lang.
|
||||
**Versuchen Sie ihn (durch „scharfes Hinsehen“) soweit wie möglich zu vereinfachen.**
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$a^*(aa|aaa(b^*|c^*)|c^+)$
|
||||
|
||||
|
||||
ODER
|
||||
|
||||
$a^*(aa(a(b^*|c^*))^?|c^+)$
|
||||
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